¿Cómo puedo ver que una superficie paramétrica es "puntiaguda"?

Question

Tengo la función $\phi: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ definida por $$ \phi(u,v) = (u^2,u^3,v) $$ la cual se ve así $\phi$." />

Necesito demostrar que los puntos en la línea $\{ (0,0,z) | z\in \mathbb{R} \}$ son "puntiagudos" y por lo tanto $\phi$ no es un homeomorfismo válido que se pueda usar para definir una carta de una variedad diferenciable. Pensé que podría demostrar que no podemos definir una superficie tangente en los puntos ubicados en esta línea, pero no estoy seguro de cómo formalizar esta idea.

Cualquier ayuda sobre cómo proceder sería realmente apreciada.

Answer 1

Esta superficie también puede ser escrita como $f^{-1}(0)$ donde $f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ es la función $f(x,y,z)=x^3-y^2$. La superficie es 'puntiaguda' porque las derivadas parciales de $f$ desaparecen a lo largo de la línea $x=y=0$. El término técnico es singulare.

Tu $\phi$ no es un homeomorfismo, pero recuerda lo que esto significa. Un homeomorfismo es continuo con inverso continuo. Esta función no tiene un inverso ya que no es sobreyectiva. ¡El fracaso de $\phi$ de ser un homeomorfismo no se debe a la singularidad!