Medida de Haar de SU(2): Alinear en la dirección z para funciones de clase

Question

Cualquier elemento de $\mathrm{SU}(2)$ se puede parametrizar a través de $$g=e^{i\varphi\vec{n}\cdot\vec{\sigma}}$$

donde $\vec{n}$ es un vector normal y donde $\varphi\in [0,2\pi]$. Las matrices $\vec{\sigma}=(\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3})$ son las matrices de Pauli. Con respecto a esta parametrización, la medida Haar normalizada se da por $$\mathrm{d}g=\frac{1}{\pi}\mathrm{sin}(\varphi)^{2}\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}^{3}\vec{n}$$ Ahora, mi pregunta es: ¿Siempre es posible usar la bi-invariancia de la medida Haar para rotar el elemento del grupo hacia la dirección z? En otras palabras, ¿siempre es posible escribir

$$\int_{\mathrm{SU}(2)}\,\mathrm{d}g\,f(g)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{sin}(\varphi)^{2}\,f(e^{i\varphi\sigma_{z}})?$$

donde $f$ es una función de clase, es decir, $f(h)=f(ghg^{-1})$.

Answer 1

Su integral está desviada en la mitad, pero por lo demás es correcta para las funciones de clase.

Repasemos algunos hechos. El elemento $e^{i\varphi n\sigma}$ tiene autovalores $e^{i\varphi},e^{-i\varphi}$, por lo tanto, son completamente una función de $\varphi$. Además, hay una conjugación por un elemento de $SU(2)$ que lleva cualquier elemento de $e^{i\varphi n\sigma}$ a $e^{i\varphi \sigma_z}$ (esto se sigue de un cálculo explícito o de una teoría básica del toro maximal).

En particular, ahora podemos escribir $$\int_{SU(2)} dg f(g)=\int_{SU(2)}dgf(e^{i\varphi \sigma_z})=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}d\varphi\sin(\varphi)^2\int dn f(e^{i\varphi \sigma_z})=$$$$\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}d\varphi\sin(\varphi)^2f(e^{i\varphi \sigma_z}).$$

Ahora una última nota. Observa que aquí la integral va desde $[0,2\pi]$, como es el caso para la descomposición real de la medida de Haar. Por otro lado, como $e^{i\varphi \sigma_z}$ es conjugado a $e^{-i\varphi\sigma_z}$, podemos escribir $$\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}d\varphi\sin(\varphi)^2f(e^{i\varphi \sigma_z})=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}d\varphi\sin(\varphi)^2f(e^{i\varphi \sigma_z}).$$