¿Por qué solo hay dos variedades en 1D?

Question

Estoy siguiendo el ensayo de Witten y él escribe:

Intentemos hacer una teoría con una dimensión de espacio en lugar de cuatro. Las opciones para una variedad unimanifold son bastante limitadas:

y luego da esta imagen:

Mis preguntas son:

1. ¿Por qué esas son las dos opciones? Entiendo que topológicamente esas son las únicas opciones, pero según comprendí solo nos importan las difeomorfismos (que son más fuertes que los Homeomorfismos). ¿Lo entendí correctamente y simplemente dan el mismo resultado en este caso?

2. ¿Qué significa que esos son variedades 1d en el espacio-tiempo 4d? ¿representan solo un paso del tiempo en una ubicación específica? ¿o viven en el espacio-tiempo 4d de tal manera que tienen componentes en todas las 4 coordenadas?

Answer 1

1. Sí, es un teorema que en una dimensión solo hay dos clases de homeomorfismo de variedades, y es un teorema separado que hay solo dos clases de difeomorfismo de variedades.

2. Witten está proponiendo un espacio-tiempo unidimensional. No está a priori incrustado en ningún espacio-tiempo de dimensiones superiores.