El mapa del fibrado principal es un homeomorfismo de fibras

Question

Dejen que $B_1(\mathcal{P}_1:P_1\rightarrow X_1)$ y $B_2$ sean dos fibrados principales G y que $\tilde f:P_1 \rightarrow P_2$ sea un mapa de fibrados principales. Quiero demostrar que $\tilde f$ lleva cada fibra de $\mathcal{P}_1$ homeomórficamente a una fibra de $\mathcal{P}_2. Logré demostrar que es continuo y biyectivo, pero no sé cómo demostrar el último paso.

Gracias,

Simon

P.D.: Un mapa de fibrados principales de $B_1$ a $B_2$ es un mapa continuo $\tilde f:P_1\rightarrow P_2$ tal que $\tilde f(p\cdot g) = \tilde f(p)\cdot g$ para todo $p\in P_1$ y $g\in G$, es decir, preserva las fibras.

Answer 1

Creo que para un haz principal, la fibra es homeomórfica a $G$. Por lo tanto, ahora es fácil ver que $f$ restringida a una sola fibra es simplemente la multiplicación por un elemento de $G.

Answer 2

Considera $\{U_j\}_{j \in J}$ una cubierta de trivialización de $X_1$ y $\{V\}_{k \in K}$ una cubierta de trivialización de $X_2$. Entonces existen homeomorfismos $\Psi^1_{j} : \mathcal P_1^{-1} (U_j) \to U_j \times G $ y $\Psi^2_{k} : \mathcal P_2^{-1}(V_k) \to V_k \times G$ con $$\Psi^1_{j}= (\mathcal P_1 , \psi^1_j) \ \ \text{y} \ \ \Psi^2_{k}= (\mathcal P_1 , \psi^2_k)$$ donde $\psi^1_j$ lleva $\mathcal P_1^{-1}(\mathcal P_1 (p))$ homeomórficamente a $G$. Ahora observa que $\tilde f (\mathcal P_1^{-1}(\mathcal P_1 (p))) = \mathcal P_2^{-1}(\mathcal P_2 (\tilde f (p))$ ya que $\tilde f$ preserva las fibras. Por lo tanto, tenemos el siguiente diagrama conmutativo

$$\require {AMScd} \begin{CD}\mathcal P_1^{-1}(\mathcal P_1 (p)) @>\tilde f>>\tilde f (\mathcal P_1^{-1}(\mathcal P_1 (p))) = \mathcal P_2^{-1}(\mathcal P_2 (\tilde f (p))\\@V \psi^1_j VV @AA(\psi^2_k)^{-1}A\\G @>>id_G >G\end{CD}$$ ya que $\psi^1_k$, $id_G$ y $(\psi^2_k)^{-1}$ son homeomorfismos, se sigue que $\tilde f$ restringido a $\mathcal P_1^{-1}(\mathcal P_1 (p))$ es un homeomorfismo sobre $\mathcal P_2^{-1}(\mathcal P_2 (\tilde f (p))$.