La combinación de dos número finito fock espacios en uno

Question

Decir que tengo los dos sistemas independientes de Bosones idénticos, uno con N Bosones el otro con M. Sistema es descrito por un estado $|\psi_1\rangle$ el otro con $|\psi_2 \rangle$ que se expresan en un espacio de Fock como

$|\psi_1\rangle = \sum_{n_1,...,n_{max}} \alpha(n_1,..,n_{max}) |n_1,n_2,..,n_{max}\rangle$

$|\psi_2\rangle = \sum_{n_1,...,n_{max}} \beta(n_1,..,n_{max}) |n_1,n_2,..,n_{max}\rangle$

donde $|n_1,n_2,..,n_{max}>=\prod_{k=1}^{max} \frac{(a^{\dagger}_k)^{n_k}}{\sqrt{n_k!}} |vac\rangle$

con "max" que denota el máximo ocupado modo, $\alpha$ $\beta$ algunas constantes dependiendo de cada uno de los valores (cero si $\sum_{k} n_k$ no es igual a $N$ $\alpha$ o $M$$\beta$) y la función de onda la satisfacción de todos los habituales de la normalización de las condiciones.

En algún punto, quiero traer a estos dos subsistemas juntos, este estado puede ser expresado como $N+M$ cuerpo espacio de Fock.

$|\psi_{total}\rangle = |\psi_1\rangle \otimes|\psi_2\rangle$

Para distinguir las partículas, esto es bastante trivial, sin embargo, la simetría hace que sea poco claro (para mí) de cómo hacerlo y dar a los estados con las correspondientes amplitudes.

¿Alguien puede decirme, o me apunte a un libro apropiado o de papel?

Answer 1

Por definición, el producto tensor de espacios de Hilbert $\mathscr{H}_1$$\mathscr{H}_2$, los dos espacios son diferentes: no es posible identificar a la creación/aniquilación de los operadores de la primer espacio con los de la segunda.

Presentada por la COOPERATIVA, tanto en $\psi_1$ $\psi_2$ pertenecen (diferentes subespacios de) el mismo simétrica espacio de Fock $\Gamma_s(\mathscr{H})$; por otra parte $\langle \psi_1,\psi_2\rangle_{\Gamma_s(\mathscr{H})}\neq 0$ en general. La manera de "combinar" dos vectores en un solo estado, es mediante la combinación lineal $\psi_1+\psi_2$ o la construcción de un estado mixto $\lvert\psi_1\rangle\langle\psi_1\rvert + \lvert\psi_2\rangle\langle\psi_2\rvert$, en mi opinión.

Si los espacios de Hilbert son diferentes, podemos tomar el producto tensor sin problemas de simetrización. También, el siguiente isomorfismo tiene entre (completa) simétrica Fock espacios: $$\Gamma_s(\mathscr{H}_1)\otimes\Gamma_s(\mathscr{H}_2)\simeq \Gamma_s(\mathscr{H}_1\oplus\mathscr{H}_2)\; .$$

Answer 2

La posible respuesta a la pregunta (si alguien pudiera confirmar esto que sería genial)

$$ |\psi_1⟩⊗|\psi_2⟩ \propto \sum_{m_1,..,m_{max},n_1,...,n_{max}} \beta(m_1,..)\alpha(n_1,..) \prod_{k=1}^{max} \frac{(a^{\dagger}_k)^{n_k+m_k}}{\sqrt{n_k! m_k!}} |vac \rangle$$

Que parece dar la correcta ponderación con la simetría pero no requiere de una corrección a la normalización.