Demostrar que el siguiente conjunto tiene un inverso multiplicativo

Question

Sea $F = \{x + y\sqrt{7} : x, y \in Q\}$ con las operaciones usuales de adición y multiplicación. Mostrar que $F$ tiene un inverso multiplicativo.

Hasta ahora, tengo

$$\left(x_1 + y_1\sqrt{7}\right) \left(\frac{1}{x_1} + \left(\frac{1}{y_1}\right)\sqrt{7}\right)$$

Pero eso me llevó a $8+2\sqrt{7}(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{y_1}) = 1$...No sé qué hacer a partir de ahí.

Answer 1

Pista: Nótese que si $x$ y $y$ no son ambos $0$, entonces $$\frac{1}{x+y\sqrt{7}}=\frac{x-y\sqrt{7}}{(x+y\sqrt{7})(x-y\sqrt{7})}=\frac{x-y\sqrt{7}}{x^2-7y^2}=\frac{x}{x^2-7y^2}+\frac{-y}{x^2-7y^2}\sqrt{7}.$$

Necesitarás usar el hecho de que $x+y\sqrt{7}$ y $x-y\sqrt{7}$ no son $0.

Answer 2

Supongamos que $(a+b\sqrt{7})(x+y \sqrt{7}) = 1$ (y $(x,y) \neq (0,0)$). Esto nos da $(ax+7 by) + (xb+ay)\sqrt{7} = 1$, de lo cual obtenemos dos ecuaciones: $ax+7 by = 1$, $xb+ay = 0$. Ahora resolvemos para $a,b$ para obtener $a = \frac{x}{x^2-7 y^2}$, $b=-\frac{y}{x^2-7 y^2}$.

Para ver que $x^2 \neq 7 y^2$, notemos que $\sqrt{7}$ es irracional.