¿Qué significa $\int \sin(dx)$?

Question

Esto trata únicamente sobre cómo se me ocurrió esta extraña idea.

Estaba considerando la relación entre el radio ($r$), el arco del círculo ($s$) y el radián ($\theta$) de tal manera que;

$$\boxed{r/s=\theta}$$

Y para convencerme completamente, quería probar el siguiente método. Cuando $s,\phi$ son muy pequeños, como $\delta s$ y $\delta \phi$, podemos asumir que el triángulo $rsr$ con ángulo $\delta \phi$ es;

Entonces, a partir del triángulo, podemos concluir que $$\sin\left(\frac{\delta \phi}{2}\right)=\dfrac{\delta s}{2r}$$ y mientras $\delta s,\delta \phi$ tienden a $0$, podemos integrar en ambos lados.

Conclusión:

¿Qué significa lo siguiente?

$$\boxed{I=\displaystyle\int \sin(dx)}$$

1.

Consideré ¿qué pasa si llevamos la integral al interior de $\sin(x)$?

entonces $I=\sin(x+C)$

2.

Intenté la definición de la integral de Riemann.

$$\displaystyle\int_a^b f(x)dx=\lim\limits_{n\to \infty}\displaystyle\sum_{k=0}^n f\left(a+k\dfrac{b-a}{n}\right)\left(\dfrac{b-a}{n}\right)$$

¿Pero cuál es la función? $f(dx)$ no parece ser solo $f(x)$ o puedo intentar lo siguiente, pero no tiene sentido para mí, tampoco.

$$\displaystyle\int f(dx)=\int \dfrac{f(dx)}{dx}dx$$ entonces $U(x)=\dfrac{f(dx)}{dx}$, pero no pude terminar.

Answer 1

Quizás esto te ayude: para ángulos muy pequeños $\sin(x) = x$ es una muy buena aproximación. Puedes usar esto para mostrar: $\dfrac{\delta \phi}{2} =\dfrac{\delta s}{2r}$ lo cual conduce a $\delta \phi = \dfrac{\delta s}{r}$ y ahora puedes integrar ambos lados para mostrar $s=2\pi r$.

Nota: Respetuosamente señalo que la longitud de arco es proporcional tanto al radio como al ángulo así que: $s = r \phi$; Creo que podría haber un error tipográfico en tu primera ecuación encerrada.

Pero no creo que haya respondido la pregunta... ¿qué podría significar $\int \sin(dx)$.

Una posible forma de ver qué significa $\sin(dx)$ podría venir de la definición de la derivada: $f'(x)=\lim_{dx \to 0} \left[ \frac {f(x+dx)-f(x)} {dx} \right]$

ahora toma algo de libertad con el límite y muévelo a todo el nivel de la ecuación. Además, evalúa la ecuación en cero.

$\lim_{dx \to 0} \left[ f'(0)= \frac {f(0+dx)-f(0)} {dx} \right]$

Y reorganiza para aislar $f(dx)$.

$\lim_{dx \to 0} \left[ f(dx)=f(0)+f'(0) dx \right]$

Entonces: $\lim_{dx \to 0} \left[ \sin(dx) = \sin(0)+\cos(0)dx = dx \right]$

Lo que nos lleva de vuelta a la aproximación de que $\sin(x) = x$ para ángulos muy pequeños.

Answer 2

Con especial referencia al sector del círculo dado $$\boxed{r = s \cdot \theta}$$ es incorrecto, seguirlo podría llevar a resultados extraños. $$\boxed{s = r\cdot \theta}$$ es correcto, llevando a resultados correctos.

Answer 3

El texto que has reproducido no menciona la "conclusión"

$$\int\sin(dx)$$ lo cual no tiene sentido (ni siquiera hay una variable $x$ en la explicación).

Lo que puedes escribir es

$$\sin\left(\frac{\delta \phi}{2}\right)\approx\frac{\delta \phi}{2}=\dfrac{\delta s}{2r}$$

y a partir de esto, reemplazando pequeños incrementos por diferenciales,

$$S=\oint ds=\int_0^\theta r\,d\phi=r\theta.$$