Aquí hay una pregunta muy básica que me gustaría entender mejor sobre los primos del campo de Gauss $\mathbb{Z}[i]$. Pero me preguntaba sobre la posibilidad de generalizarlo a otros campos numéricos (cuadráticos reales o de grados superiores), vea abajo.
Consideremos los primos $p < X$ que se dividen en $\mathbb{Q}(i)$, es decir, los que tienen $p \equiv 1 \mod{4}$. Entonces $p = a^2+b^2$ de una manera esencialmente única: se pueden cambiar los signos de $a$ o $b o intercambiarlos, dando un total de $8$ puntos $(a,b)$ en el círculo $|z| = \sqrt{p}$ en el plano Gaussiano. Esto corresponde a mirar los dos primos $(a+ib)$ y $(a-ib)$ por encima de $p$ en $\mathbb{Z}[i]$, y notar que el grupo unitario es simplemente $\{\pm 1, \pm i\}$. Marca todos estos $8$ puntos (para que no haya ambigüedad), para todos los primos divididos $p < X$. A medida que $X$ crece, ¿cómo se distribuyen estos puntos marcados en sectores angulares?
Esto suena como Sato-Tate involucrando una curva $y^2 = x^3-x$ con CM por nuestro anillo Gaussiano, particularmente ya que $a \pm i b$ es un número de Weil de peso uno. Pero también lo es su reflexión $-i(a \pm ib) = b \mp ia$, y los dos no son conjugados, por lo tanto corresponderían a clases de isogenias elípticas / $\mathbb{F}_p$ diferentes en la construcción de Honda. (Y estoy confundido). Pregunta: ¿Cuál es la relación, y cómo resolver de la manera más directa posible el problema elemental aquí sobre las sumas de dos cuadrados?
Y la segunda parte de mi pregunta, que también era mi motivación, concierne la posibilidad de extender esto a campos numéricos generales $K/\mathbb{Q}$. El teorema del ideal primo describe la distribución de las normas de los primos de $K$. Pero estos ideales primos se sientan como retículas en el espacio vectorial real $K \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{R}$, con puntos que representan números algebraicos específicos (elementos) de $K$. Se podría preguntar sobre la distribución de otras cualidades de estas retículas más allá de simplemente su covolumen (que esencialmente da la norma $N (\mathfrak{p})$, como su índice en la retícula de enteros $O_K$). Como antes, para cada primo con $N(\mathfrak{p}) < X$, podríamos marcar los primeros $\deg{K} = \dim(K \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{R})$ vectores más cortos en la retícula correspondiente (si hay repeticiones, marcarlos todos), y preguntar cómo se distribuyen los puntos marcados a medida que $X \to \infty$. Los primos de grado $> 1$ hacen una contribución despreciable, y así para $\mathbb{Q}(i)$ la pregunta se reduce al problema elemental anterior.
¿Se ha escrito algo sobre este tipo de pregunta (la distribución de retículas de ideales primos, en lugar de solo sus covolúmenes), o es esta pregunta poco interesante por alguna razón que no veo?
