¿Cómo resolver esta ecuación tensorial $ g_{ij} x^ix^j =0$?

Question

Cómo resolver esta ecuación tensorial $ g_{ij} x^ix^j=0$, se usa la notación de Einstein para la suma.

$ i, j \in \{1,2,3,4\} , x=\{x^1, x^2, x^3, x^4\} $

Dado que $ g_{ij} $ es una matriz no singular de $4$ x $4$, y simétrica $ g_{ij} =g_{ji} $ ¿Cómo encontrar soluciones no triviales $ x \neq 0$?

Comentario: Sé cómo resolver esto $g_{ij} y^i_ny^j_k=\delta^n_k $ pero no veo cómo eso ayuda.

Answer 1

Sospecho que pretendes que cada $g_{ij}, x^i$ sean reales. Entonces, dado que $g$ es simétrica, al diagonalizarla se obtiene una matriz con entradas diagonales reales. Sabemos que ninguna de estas es cero, y si todas son positivas, la única solución es $x=0$. Pero si algunos autovalores son positivos y otros son negativos, existen soluciones no triviales. Una transformación de similitud puede hacer que cada autovalor de $g$ sea $\pm 1$ con los $+1$s agrupados juntos, por lo que podemos reescribir el problema como $x_\uparrow^2=x_\downarrow^2$ (digamos).