Error histórico de asumir la medición

Question

Recientemente estoy leyendo sobre transformadas de Fourier y convoluciones. Me sorprendió que se necesiten varios párrafos para demostrar la medibilidad de la inocente $f(x-y)$ (referencia: demostración de que $\hat{f}(x,y)=f(x-y)$ es medible si $f$ es medible, Stein & Shakarchi Prop 3.9). Me hace preguntarme:

¿Alguna vez ha ocurrido en la historia que los matemáticos publiquen resultados incorrectos porque asumieron la medibilidad de algunos conjuntos o funciones (con aspecto inocente)?

Answer 1

Hay el famoso error de Lebesgue. Citando de Teoría descriptiva de conjuntos: Segunda edición por Yiannis N. Moschovakis, página 2: "El argumento de Lebesgue era “simple, corto pero falso”. El paso incorrecto en la prueba estaba escondido en un lema tomado como (básicamente) trivial, que un conjunto en la línea que es la proyección de un conjunto Borel medible en el plano es a su vez Borel medible. Diez años más tarde, el error fue descubierto por Suslin, entonces un joven estudiante de Lusin en la Universidad de Moscú, que corrió a informar a su profesor en una escena encantadoramente descrita en Sierpinski [1950]. Suslin llamó a las proyecciones de los conjuntos Borel analíticos y mostró que de hecho hay conjuntos analíticos que no son Borel medibles. Juntos con Lusin establecieron rápidamente la mayoría de las propiedades básicas de los conjuntos analíticos..."

Mikhail Suslin murió antes de cumplir su 25 cumpleaños, y solo publicó algunas páginas durante su vida, pero su descubrimiento del error de Lebesgue y la forma fundamental en que lo abordó, sentaron las bases de la teoría descriptiva de conjuntos. https://es.wikipedia.org/wiki/Mikhail_Suslin https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_analítico

Edit: Siguiendo una pregunta de @KurtG. en los comentarios, agrego a continuación la cita relevante precisa de Sierpinski (1950) (http://www.numdam.org/item/MSM_1950__112__1_0.pdf): "Por casualidad estaba presente cuando Mikhail Souslin comunicó sus observaciones a M. Lusin y le entregó el manuscrito de su primer trabajo. M. Lusin tomó muy en serio al joven estudiante que le dijo haber encontrado un error en un Memoria de un eminente erudito. También fui uno de los primeros que, inmediatamente después de M. Lusin, leyó el manuscrito de Mikhail Souslin; por lo tanto, sé bien cuánto ayudó Lusin a su alumno y cómo guió su investigación. Varios autores utilizan el término "conjuntos de Souslin" para la clase de conjuntos analíticos; creo que sería más justo llamarlos conjuntos de Souslin-Lusin. M. Souslin no se conformó con señalar que el lema de H. Lebesgue es incorrecto. Comenzó a examinar si las consecuencias que Lebesgue dedujo del lema eran ciertas. Una de ellas era la proposición de Lebesgue de que una proyección en una línea L de un conjunto Borel en el plano, es un conjunto Borel en L [lo que se derivaría inmediatamente del (falso) lema de H. Lebesgue sobre la proyección de la intersección de una secuencia descendente de conjuntos, ya que la proyección de cualquier unión de conjuntos es la unión de las proyecciones de estos conjuntos, y la proyección de un rectángulo es un segmento]. Para construir un ejemplo de un conjunto plano Borel medible cuya proyección no es un conjunto Borel, el Sr. Souslin creó toda una teoría que llamó teoría de conjuntos analíticos (A). Esta teoría fue luego simplificada y desarrollada por Lusin, quien también demostró, con la asistencia de Suslin, que el teorema establecido por Lebesgue respecto a las funciones definibles implícitamente analíticamente es verdadero, aunque originalmente se derivó de un lema falso."