Calculando el costo esperado para una variable aleatoria exponencial

Question

Estoy leyendo Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias.

El Ejercicio 63, Capítulo 4 dice:

Un consumidor está tratando de decidir entre dos planes de llamadas de larga distancia. El primero cobra una tarifa plana de 10¢ por minuto, mientras que el segundo cobra una tarifa plana de 99¢ por llamadas de hasta 20 minutos de duración, y luego 10¢ por cada minuto adicional que exceda los 20 (asumiendo que las llamadas con duración no entera se cobran proporcionalmente a la tarifa de un minuto completo). Supongamos que la distribución de duración de llamadas es exponencial con parámetro $\lambda$.

• ¿Qué plan es mejor si la duración esperada de la llamada es de 10 minutos? ¿Y si es de 15 minutos?

Asumiendo la primera pregunta, cuando la duración es de 10 minutos, calculé el costo del primer plan como:

$h_1(x) = 10 * E[x] = 10 * 10 = 100$

¿Sin embargo, cómo calculo el costo para el segundo plan ($h_2(x)$) ?

Intenté con:

$h_2(x) = 99 * F(x \leq 20) + 10 * (1 - F(x \leq 20)) \approx 87$

Pero el resultado correcto es $112.53$.

Answer 1

En el segundo plan, pagas $99$ centavos seguros por una llamada, más un cargo por llamadas que duren más de $20$ minutos. Vamos a calcular el valor esperado de este cargo adicional.

El cargo adicional ocurre con probabilidad $e^{-20/10}$.

Dado que una llamada duró más de $20$ minutos, el tiempo adicional esperado es de $10$, por la propiedad de falta de memoria de la distribución exponencial. Por lo tanto, el cargo adicional esperado es $(10)(e^{-20/10})(10)$.

Entonces, el costo esperado de una llamada en el segundo plan, con una duración media de $10$, es de $99+(10)(e^{-20/10})(10)$ centavos.

El cálculo cuando la duración media es de $15$ se realiza de la misma manera.

Answer 2

Sea $X$ la duración de la llamada y $Y$ el costo. Tenemos $$ \mathbb{E}[Y \mid X \leq 20] = 99 \tag{$\clubsuit$} $$ y $$ \mathbb{E}[Y \mid X > 20] = 99 + 10 \cdot 10 = 199 \tag{$\spadesuit$} $$ La razón de $(\spadesuit)$ es la siguiente. Cuando $X > 20$, la duración de la llamada consta de dos partes:

• Los primeros $20$ minutos que cuestan un total de $99$.

• El tiempo adicional que cuesta $10$ por minuto. Este tiempo sigue la misma distribución que $X$ porque la distribución exponencial es sin memoria. Por lo tanto, el costo esperado es $10 \cdot \mathbb{E}[X] = 100$.

Por lo tanto, $$ \mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}[Y \mid X \leq 20] \cdot \Pr[X \leq 20] + \mathbb{E}[Y | X > 20] \cdot \Pr[X > 20] \approx 112.53 $$