¿Realmente la amplitud va hasta el infinito en resonancia?

Question

Estaba repasando las oscilaciones forzadas, y algo me preocupaba. La ecuación relativa a la oscilación forzada es: $$x=\frac{F_0}{m(\omega_0^2-\omega^2)}\cos(\omega t)$$ No entiendo por qué esta ecuación predice que la amplitud se acercará a infinito a medida que $\omega$ se acerque a $\omega_0$. Se podría argumentar que en el mundo real, existen fuerzas de amortiguamiento, fricción, etc. El problema es que, incluso en el mundo ideal, la amplitud no se acercaría a infinito ya que la fuerza de restauración del resorte atrapará la fuerza impulsora en algún momento, y el sistema se mantendrá en equilibrio.

Lo que me pregunto es

• ¿Es correcta mi sugerencia en el último párrafo?
• Si es correcto, ¿qué suposición nos llevó al modelo erróneo de $x$?
• Si no es correcto, ¿qué me falta?

Answer 1

Lo que te falta es que la "amplitud es igual a $\infty$" se trata del comportamiento a largo plazo del sistema.

Lo que sucede cuando $\omega = \omega_0$ es que la amplitud sigue aumentando con el tiempo. Sí, la fuerza de restauración siempre la lleva de vuelta, pero en el próximo balanceo, va más lejos de lo que lo hizo la vez anterior, de manera ilimitada.

Answer 2

Pensé que sería útil dar una respuesta intuitiva sobre cómo la amplitud puede aumentar sin límites cuando $\omega = \omega_0$ incluso cuando siempre habrá un punto en el tiempo donde la fuerza de restauración máxima del resorte es mayor que el valor máximo de la fuerza de conducción periódica.

El punto es que no importa en absoluto cuál sea la fuerza de restauración cuando el resorte está en su máxima extensión para un ciclo dado. En ese punto, la fuerza de conducción es casi 0 de todos modos (asumiendo una fuerza de conducción sinusoidal con período correspondiente y fase perfectamente alineada). La fuerza de conducción alcanza su máximo cuando la masa se está moviendo a su mayor velocidad en el centro de su trayectoria y aplicar una fuerza siempre dará una aceleración.

En este sistema idealizado, el resorte oscilante no pierde velocidad de un ciclo a otro, pero luego la pequeña fuerza agrega un poco de velocidad en cada ciclo. Eso significa que la velocidad máxima crece sin límites, por lo que la amplitud (y por lo tanto la amplitud de la fuerza de restauración) también crece sin límites.

Nótese que, incluso en el sistema idealizado, aplicar la fuerza periódica se vuelve cada vez más difícil. Cuando empujas a alguien en un columpio, cuanto más rápido se están moviendo cuando pasan por la parte inferior, más rápido tienes que empujar para aplicar la misma cantidad de fuerza. Dado que la fuerza de conducción actúa sobre toda la amplitud del movimiento, y el trabajo = fuerza $\times$ distancia, el trabajo realizado por ciclo (y por lo tanto el consumo de energía) también aumenta sin límites.

Otros han mencionado que, en la vida real, habría amortiguación, pero estás específicamente ignorando eso.

Answer 3

Transferir esta ecuación diferencial

$${\frac {d^{2}}{d{t}^{2}}}x \left( t \right) +{\omega_{{0}}}^{2}x \left( t \right) ={\frac {F\cos \left( \omega\,t \right) }{m}}$$

al dominio de Laplace (con las condiciones iniciales $~x(0)=0~,\dot{x}(0)=0~)$ se obtiene

$$x(s)={\frac {Fs}{m \left( {s}^{2}+{\omega}^{2} \right) \left( {s}^{2}+{ \omega_{{0}}}^{2} \right) }}$$

y de vuelta al dominio del tiempo (la solución)

$$x(t)=-{\frac {F\cos \left( \omega\,t \right) }{m \left( {\omega}^{2}-{ \omega_{{0}}}^{2} \right) }}+{\frac {F\cos \left( \omega_{{0}}t \right) }{m \left( {\omega}^{2}-{\omega_{{0}}}^{2} \right) }}$$

el límite de x(t) para $~\omega=\omega_0~$ es: (enfoque de l'Hospital) $$\lim x(t)\bigg|_{\omega\mapsto\omega_0}=\frac{\partial_\omega \left[-F \left( \cos \left( \omega\,t \right) -\cos \left( \omega_{{0}}t \right) \right) \right]}{\partial_\omega\left[m \left( {\omega}^{2}-{\omega_{{0}}}^{2} \right)\right]}\bigg|_{\omega\mapsto\omega_0}=\frac 12\,{\frac {F\sin \left( \omega_{{0}}t \right) t}{m\omega_{{0}}}}$$

así que x(t) para $~\omega=\omega_0~$ no es infinito

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$$\frac{F}{m}\cos(\omega\,t)\overset{\text{Laplace}}{=}{\frac {Fs}{m \left( {s}^{2}+{\omega}^{2} \right) }}$$

Answer 4

Una analogía: Supongamos que escribes un libro, y los derechos de autor del libro son $100k el primer año. Cada año, los derechos de autor son un porcentaje $p$ de los derechos de autor del año anterior. Por ejemplo, si $p=0.5$, el segundo año obtienes$50k, el tercer año \$25k, y así sucesivamente. Puedes usar la fórmula para series geométricas para obtener que los derechos de autor totales serán $\frac 1 {1-p}$.

Si $p=1$, esta fórmula te da infinito; si tus derechos de autor cada año son los mismos que el año anterior, entonces no hay límite en cuánto dinero obtendrás. Ahora, eso no significa que recibirás una cantidad infinita de dinero; en algún momento específico, el dinero que has recibido es finito. Simplemente está diciendo que si intentas encontrar $\lim_{n \rightarrow \infty}T_n$, donde $n$ es el año y $T_n$ es la cantidad total de dinero que recibes hasta e incluyendo el año $n$, no obtendrás un límite finito.

De manera similar, si $\omega \neq \omega_0$, entonces tenemos que $\lim_{t \rightarrow \infty}A_t$ está dado por tu fórmula; a medida que avanzamos, la oscilación se acercará cada vez más a ser sinusoidal con esa amplitud. Si $\omega = \omega_0$, entonces no hay límite finito; cada ciclo agregará más y más energía.

El problema es, sin embargo, incluso en el mundo ideal, la amplitud no se acercará a infinito ya que la fuerza restauradora del resorte atrapará la fuerza motriz en algún punto, y el sistema se mantendrá en equilibrio.

No entiendo lo que estás diciendo aquí. Si las frecuencias son exactamente iguales, entonces la fuerza motriz y la fuerza restauradora siempre estarán en fase entre sí. Nunca se opondrán entre sí.