¿Realmente la amplitud va hasta el infinito en resonancia?

Question

Estaba repasando las oscilaciones forzadas, y algo me preocupaba. La ecuación relativa a la oscilación forzada es: $$ x=\frac{F_0}{m(\omega_0^2-\omega^2)}\cos(\omega t) $$ No entiendo por qué esta ecuación predice que la amplitud se acercará a infinito a medida que $\omega$ se acerque a $\omega_0$. Se podría argumentar que en el mundo real, existen fuerzas de amortiguamiento, fricción, etc. El problema es que, incluso en el mundo ideal, la amplitud no se acercaría a infinito ya que la fuerza de restauración del resorte atrapará la fuerza impulsora en algún momento, y el sistema se mantendrá en equilibrio.

Lo que me pregunto es

• ¿Es correcta mi sugerencia en el último párrafo?
• Si es correcto, ¿qué suposición nos llevó al modelo erróneo de $x$?
• Si no es correcto, ¿qué me falta?

Answer 1

$x(t)$ no va instantáneamente a infinito; el caso $\omega=\omega_0$ necesita cuidado especial. Creo que una respuesta directamente de las matemáticas ayudará. La ecuación de movimiento del MRU conducido es

$$\tag{1} x''+\omega_0^2x=\cos(\omega t) $$

Donde he establecido todas las demás constantes a la unidad. La solución general de (1) es igual a la homogénea más cualquier solución particular

$$ x(t)=x_H(t)+x_P(t) $$

La solución homogénea es simplemente

$$ x_H(t)=C\sin(\omega_0 t)+D\cos(\omega_0 t) $$

Donde $C$ y $D$ son determinados por las condiciones iniciales. Nótese que la amplitud de $x_H$ está fija en todo momento por las constantes $C$ y $D$. Para encontrar una solución particular, utilizaré coeficientes indeterminados. Comenzando con el ansatz

$$\tag{2} x_P(t)\stackrel{?}{=}A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t) $$

Sustituimos (2) en (1). Si podemos resolver consistentemente para las constantes $A$ y $B$, entonces hemos terminado. Cuando $\omega\neq \omega_0$, el resultado es

$$ A=0\\ B=\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2} $$

Lo que corresponde a la solución en OP. Sin embargo, cuando $\omega=\omega_0$, no hay $A$ y $B$ que hagan que (2) sea una solución de (1). ¡Inténtalo y verás! En este caso, debemos modificar el ansatz (2) para que sea

$$\tag{3} x_P(t)\stackrel{?}{=}At \sin(\omega_0 t)+B t\cos(\omega_0 t) $$

Este es un procedimiento estándar con coeficientes indeterminados: cuando la solución homogénea tiene un término que es igual al RHS de (1). Sustituir (3) en (1) y resolver por $A$ y $B$, lo cual da

$$ A=\frac{1}{2\omega_0} \\ B=0\\ \therefore x_P(t)=\frac{t \sin(\omega_0 t)}{2\omega_0} $$

Por lo tanto: la solución particular es una función oscilante con amplitud que crece linealmente en el tiempo. Esta conclusión se sigue solo de la ecuación diferencial (1) sin otra entrada física o divagación.

Editar: Con la solución general

$$\tag{4} x(t)=C\cos(\omega_0 t+\phi) + \frac{F_0}{m}\frac{t}{2\omega_0}\sin(\omega_0 t) $$

en mano, podemos responder tu pregunta sobre las fases relativas del resorte y la fuerza impulsora. He reinstaurado las unidades y escrito $x_H$ en una forma más conveniente y equivalente. La fuerza del resorte es

$$ F_{\text{sp}}(t)=-k x(t) $$

Si $C\ll \frac{F_0 t}{\omega_0 m} $ (tiempos largos) entonces el segundo término en el RHS de (4) es grande en comparación con el primero. Así que podemos escribir aproximadamente

$$ F_{\text{sp}}(t)\approx-\frac{F_0 t}{2}\sin(\omega_0 t) \qquad ;\qquad C\ll \frac{F_0 t}{\omega_0 m} $$

Mientras que la fuerza impulsora definida en (1) es $F_0 \cos(\omega_0 t)$, compara el $\sin$ con el $\cos$. Así que para tiempos grandes, la fuerza impulsora está aproximadamente $\pi/2$ fuera de fase con la fuerza del resorte.

Answer 2

Tu solución $$x(t)=\frac{F_0}{m(\omega_0^2-\omega^2)}\cos(\omega t) \tag{1}$$ fue derivada de la ecuación diferencial $$m(\ddot{x}+\omega_0^2x)=F_0\cos(\omega t) \tag{2}$$

Así que la oscilación forzada (1) es de hecho una solución matemáticamente correcta de (2). Pero para el caso de resonancia ($\omega=\omega_0$) la solución (1) se vuelve mal definida, y necesitas resolver (2) de una manera matemáticamente más cuidadosa, como se hace en las respuestas de @Sal y @Puk.

Pero la ecuación (2) es en realidad una idealización matemática de la situación física porque ignora el amortiguamiento. En realidad siempre habrá un término de amortiguamiento ($\propto\gamma\dot{x}$) con un pequeño $\gamma$ positivo. Así que en lugar de (2) tendrás la ecuación diferencial $$m(\ddot{x}+\gamma\dot{x}++\omega_0^2x)=F_0\cos(\omega t) \tag{3}$$

Deberías intentar resolver esta ecuación diferencial. Pista: Usa el enfoque $$x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t) \tag{4}$$ y encuentra las amplitudes $A$ y $B$ como funciones de $\omega$. Entonces verás que para el caso de resonancia (en $\omega=\omega_0$, y también en el rango $[\omega_0-\gamma, \omega_0+\gamma]$) la amplitud será muy grande, pero no infinitamente grande.

Answer 3

Es instructivo analizar el problema en el dominio del tiempo. Cuando la fuerza impulsora es $F_0 \cos(\omega_0 t)$ y la masa está inicialmente en reposo en su posición de equilibrio, la solución es $$x =\frac{F_0}{2\omega_0m}t\sin(\omega_0t) $$ lo cual representa oscilaciones que crecen en amplitud con el tiempo.

No es necesario relevante cómo la magnitud de la fuerza de restitución se compara con la de la fuerza impulsora. Incluso para amplitudes pequeñas, en ciertas partes del movimiento, la fuerza impulsora inevitablemente será menor en magnitud que (o en la misma dirección que) la fuerza de restitución. Por eso la masa periódicamente se detiene y comienza a acelerar hacia la posición de equilibrio.

Se puede ver al integrar la fuerza impulsora a lo largo de la trayectoria que la fuerza impulsora no realiza trabajo neto sobre la masa en cada periodo, causando que la amplitud crezca en cada ciclo. Otra forma de ver que la masa adquirirá energía con el tiempo es integrando la suma de las fuerzas impulsora y de restitución entre los tiempos $nT_0$ y $(n+1)T_0$ donde $T_0=2\pi/\omega_0$ es el periodo. Esto da el cambio de momento en la posición de equilibrio en cada ciclo. Dado que la fuerza impulsora es periódica, no causa cambio de momento por ciclo. Sin embargo, la fuerza de restitución crece en magnitud y su integral es positiva en cada ciclo. Esto se puede entender intuitivamente de la siguiente manera.

En el periodo entre los tiempos $nT_0$ y $(n+1)T_0$, en promedio, la fuerza de restitución es menor en magnitud para $x>0$ que para $x<0$, debido a la creciente amplitud. Por lo tanto, hay una transferencia de impulso no nulo en la dirección positiva en cada ciclo, causando que la velocidad en $x=0$ aumente en cada ciclo.

Answer 4

En el mundo real, la amplitud vibracional de un sistema subamortiguado impulsado en resonancia se vuelve grande, hasta el punto en que las piezas móviles en el sistema chocan contra sus límites, y luego algo se rompe, y luego el sistema se desmorona y se convierte en un montón de chatarra. Hay un video de YouTube de exactamente este proceso que tiene lugar en una lavadora con un ladrillo adentro, configurado en su ciclo de centrifugado. El peso desequilibrado que oscila a mayor y mayor velocidad "encuentra" todas las resonancias en el sistema, las excita y construye sus amplitudes hasta el punto donde las piezas se desprenden. Al final del video, ya no hay una lavadora.

Answer 5

Cuando la frecuencia de la fuerza externa es igual a la frecuencia natural del resorte, se produce resonancia y, en condiciones idealizadas, la amplitud aumenta periódicamente sin límite.

Esto se debe a que la fuerza externa nunca será opuesta en dirección a la fuerza del resorte. Recuerda que la fuerza externa también oscila. Trabaja junto con el resorte para seguir empujando la amplitud.

Tu ecuación es una ecuación de estado estacionario. Solo es válida después de haber pasado un tiempo infinito. Cuando comienza el experimento, no será válida.

En escenarios reales y no ideales, puede ser válida después de cantidades finitas de tiempo, sin embargo.

Editar: Tomar en consideración el comentario de Puk