Estoy trabajando en encontrar el asintótico de $\int_0^\infty\frac{\cos x}{x^a} \, dx$ para $a\to0^+$. Y he reducido el problema a encontrar el asintótico de $a\int_0^\infty\frac{\sin x}{x^{a+1}} \,d x$. Se conoce que el resultado es $a\pi/2$ si $a\to0^+$ y aquí está mi demostración. $$a\int_0^\infty\frac{\sin x}{x^{a+1}} \,dx = a\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{x^{a+1}} \, dx + a\int_{\pi/2}^\infty\frac{\sin x}{x^{a+1}} \, dx$$ Por otro lado, $a\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{x^{a+1}}\,dx$ se comporta como $a\pi/2$ y $a\int_{\pi/2}^\infty\frac{\sin x}{x^{a+1}} \, dx = O(1)$. Sin embargo, el problema es que $a\pi/2$ es mucho más pequeño que $1$. Cualquier sugerencia sería apreciada.
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Supongamos $0. Dado que $x^{a}\sin x\xrightarrow{x\rightarrow0}0$, la integración por partes nos da
$$ \int^M_0x^{-a}\cos x\,dx = M^{-a}\sin M +a\int ^M_0x^{-a-1}\sin x\,dx $$
Dado que $x^{-a-1}(1-\cos x)\xrightarrow{x\rightarrow0}0$, siguiendo la sugerencia de Daniel Fischer (integración por partes usando $(1-\cos x)'=\sin x$) obtenemos
$$ \int^M_0x^{-a-1}\sin x\,dx = M^{-a-1}(1-\cos M) + (a+1)\int^M_0x^{-a-2}(1-\cos x)\,dx $$
Juntando todo y dejando que $M\rightarrow \infty$ obtenemos
$$ \int^M_0x^{-a}\cos x\,dx = a(a+1)\int^\infty_0\frac{1-\cos x}{x^{a+2}}\,dx $$
La integral a la derecha, como función de $a$, se puede manejar mediante argumentos de convergencia dominada ya que $0\leq 1-\cos x\leq 2$, $\frac{1-\cos x}{x^2}$ está acotado en $(0,1]$, y $x^{-1-a}$ converge a $x^2$ en $L_2(1,\infty)$. Por lo tanto $\int^\infty_0 \frac{1-\cos x}{x^{2+a}}\xrightarrow{a\rightarrow0} \int^\infty_0\frac{1-\cos x}{x^2}\,dx$.
Se sigue que $\lim_{a\rightarrow0}\int^\infty_0 x^{-a}\cos x\,dx =0$.
