Si $(a,b,c)$ son los lados de un triángulo, ¿cuál es la probabilidad de que $ac>b^2$?

Question

Sea $a \le b \le c$ los lados de un triángulo inscrito dentro de un círculo fijo de modo que los vértices del triángulo están distribuidos uniformemente en la circunferencia.

Pregunta 1: ¿Es cierto que la probabilidad de que $ac > b^2$ es $\displaystyle \frac{1}{5}$? Realicé una simulación generando $1.75 \times 10^9$ triángulos y contando las veces que $ac > b^2$. Los datos experimentales parecen sugerir que la probabilidad converge a alrededor de $0.2$.

Nota: Para cualquier triángulo con $a \le b \le c$, la desigualdad triangular implica que $b < a+c < 3b$. Ahora, la condición $ac > b^2$ implica que $2b < a+c < 3b$; aquí, el límite inferior proviene de la desigualdad de la media aritmética-geométrica. Por lo tanto, todos los triángulos para los cuales $b < a+c < 2b$ quedan descartados. Para nuestro problema, la condición $2b < a+c < 3b$ es necesaria pero no suficiente.

Actualización: Cambié el título a la luz de los comentarios y respuestas que indican que relajar la condición $a\le b \le c$ es más fácil de manejar

Pregunta relacionada: Si $(a,b,c)$ son los lados de un triángulo y $x \ge 1$, ¿cuál es la probabilidad de que $a+b > cx$?

Answer 1

Demasiado largo para un comentario:

El problema del orden que fija el valor de la probabilidad se puede resolver utilizando el concepto de dualidad (el dual de un triángulo también es un triángulo)

A continuación tenemos una fórmula útil consulte la página wiki Fórmula de Crofton

Cito una parte de ella:

$S_1$,$S_2$, con $S_{1}$ anidado dentro de $S_{2}$, la probabilidad de que una línea aleatoria $l$ intersecte la superficie interna $S_{1}$, condicional a que intersecte la superficie externa, es...

Fin de la cita

Así que en este caso comenzamos por la integral que define la probabilidad en términos de área y para concluir usamos la condición $ac>b^2$

Explicación adicional:

Si tomamos dos triángulos uno dentro de otro, la probabilidad de que una línea intersecte los dos triángulos (dada arriba) es equivalente a decir, excluyendo el caso homotético de que uno de los lados sea lo suficientemente grande y por lo tanto hay una restricción en él o aquí $ac>b^2$