Si $(a,b,c)$ son los lados de un triángulo, ¿cuál es la probabilidad de que $ac>b^2$?

Question

Sea $a \le b \le c$ los lados de un triángulo inscrito dentro de un círculo fijo de modo que los vértices del triángulo están distribuidos uniformemente en la circunferencia.

Pregunta 1: ¿Es cierto que la probabilidad de que $ac > b^2$ es $\displaystyle \frac{1}{5}$? Realicé una simulación generando $1.75 \times 10^9$ triángulos y contando las veces que $ac > b^2$. Los datos experimentales parecen sugerir que la probabilidad converge a alrededor de $0.2$.

Nota: Para cualquier triángulo con $a \le b \le c$, la desigualdad triangular implica que $b < a+c < 3b$. Ahora, la condición $ac > b^2$ implica que $2b < a+c < 3b$; aquí, el límite inferior proviene de la desigualdad de la media aritmética-geométrica. Por lo tanto, todos los triángulos para los cuales $b < a+c < 2b$ quedan descartados. Para nuestro problema, la condición $2b < a+c < 3b$ es necesaria pero no suficiente.

Actualización: Cambié el título a la luz de los comentarios y respuestas que indican que relajar la condición $a\le b \le c$ es más fácil de manejar

Pregunta relacionada: Si $(a,b,c)$ son los lados de un triángulo y $x \ge 1$, ¿cuál es la probabilidad de que $a+b > cx$?

Answer 1

Suponga que el círculo es el círculo unitario centrado en el origen, y los vértices del triángulo son:
$A(\cos(-Y),\sin(-Y))$ donde $0\le Y\le2\pi$
$B(1,0)$
$C(\cos X,\sin X)$ donde $0\le X\le2\pi$

Relaje el requerimiento que $a \le b \le c$, y deje que:
$a=BC=2\sin\left(\frac{X}{2}\right)$
$b=AC=\left|2\sin\left(\frac{2\pi-X-Y}{2}\right)\right|=\left|2\sin\left(\frac{X+Y}{2}\right)\right|$
$c=AB=2\sin\left(\frac{Y}{2}\right)$

$\therefore P[ac>b^2]=P\left[\sin\left(\frac{X}{2}\right)\sin\left(\frac{Y}{2}\right)>\sin^2\left(\frac{X+Y}{2}\right)\right]$ donde $0\le X\le2\pi$ y $0\le Y\le2\pi$

Esta probabilidad es la proporción del área de la región sombreada respecto al área del cuadrado en el gráfico debajo.

Rote estas regiones $45^\circ$ en sentido horario alrededor del origen, luego reduzca por un factor de $\frac{1}{\sqrt2}$, luego traduzca a la izquierda $\pi$ unidades, dejando $X=x+\pi-y$ y $Y=x+\pi+y$.

$\begin{align} P[ac>b^2]&=P\left[\sin\left(\frac{x+\pi-y}{2}\right)\sin\left(\frac{x+\pi+y}{2}\right)>\sin^2(x+\pi)\right]\\ &=P\left[\cos(x+\pi)-\cos y<-2\sin^2(x+\pi)\right]\text{ utilizando la identidad suma a producto}\\ &=P\left[-\cos x-\cos y<-2\sin^2 x\right]\\ &=P\left[-\arccos(2\sin^2x-\cos x)

La evidencia numérica sugiere que la integral es igual a $\frac{\pi^2}{5}$. (He publicado esta integral como otra pregunta.) Si eso es cierto, entonces la probabilidad es $\frac25$.

Si la probabilidad sin requerir $a \le b \le c$ es $\frac25$, se sigue que la probabilidad con requerir $a \le b \le c$ es $\frac15$, como explicó @joriki en los comentarios.

Actualización:

La integral ha sido mostrada que es igual a $\frac{\pi^2}{5}$, demostrando así que la respuesta al OP es realmente $1/5$.

La simplicidad de la respuesta, $1/5$, sugiere que podría haber una solución más intuitiva, pero dada la cantidad de atención que ha recibido el OP, una solución intuitiva parece ser bastante esquiva. Podríamos tener que considerar esta como otra pregunta de probabilidad con una respuesta simple pero sin explicación intuitiva. (Otros ejemplos de tales preguntas de probabilidad son aquí y aquí.)

Answer 2

Esto no es una respuesta, sino más bien una exploración numérica. Podemos suponer que los tres puntos están en el círculo unitario y que uno de ellos es $P=(1, 0)$. Dejemos que los otros dos puntos sean $Q = (\cos x, \sin x)$ y $R=(\cos y, \sin y)$. Definamos el conjunto \begin{equation} S = \{(x, y) | \min(a,b,c)\max(a,b,c)> \text{mid}(a,b,c)^2\} \end{equation} donde $a = 2 |\sin(x/2)|$, $b = 2|\sin(y/2)|$, $c = 2|\sin((x-y)/2)|$ son las longitudes de los lados del triángulo.

Pude graficar la función indicadora ${\bf 1}_S(x,y)$ en La imagen de ${\bf 1}_S(x+\frac{y}{2},y)$ muestra incluso más regularidad. Parece que en esta imagen solo están involucradas unas pocas curvas similares a senos

Editar: Actualicé las imágenes. La versión original de esta publicación invirtió los ejes $x$ e $y$.

Usando el comentario de @joriki de que el problema es equivalente a demostrar que la probabilidad del triple no ordenado $(a, b, c)$ satisface $a c > b^2$ es $2/5$ nos permite crear una imagen más simple. Sea \begin{equation} U = \{(x, y) | a c> b^2\} \end{equation} con la misma definición de $a, b, c$. Graficar la función ${\bf 1}_U(x+\frac{y}{2},y)$ nos da la imagen mucho más simple

La función que se asemeja a un seno en esta imagen se puede demostrar que tiene la ecuación \begin{equation} y = 2 \arccos\left(-\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\sqrt{17 + 8\cos x}\right) \end{equation} para $0\le x\le \pi$. Entonces la pregunta se reduce a: ¿Es cierto que \begin{equation} \frac{2}{\pi^2} \int_0^\pi \arccos\left(-\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\sqrt{17 + 8\cos x}\right) d x = \frac{2}{5} \end{equation} WolframAlpha realmente da este valor numéricamente. Así es como se puede establecer la ecuación de la curva, recordando que $2 \sin u \sin v = \cos \left(u-v\right)-\cos \left(u+v\right)$, entonces

\begin{equation}\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{array}{rl}&\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{y}{4}\right) \sin \left(\frac{x}{2}-\frac{y}{4}\right) = {\sin }^{2} \left(\frac{y}{2}\right)\\ \Longleftrightarrow &\displaystyle \frac{1}{2} \left(\cos \left(\frac{y}{2}\right)-\cos \left(x\right)\right) = {\sin }^{2} \left(\frac{y}{2}\right)\\ \Longleftrightarrow &\displaystyle {\cos }^{2} \left(\frac{y}{2}\right)+\frac{1}{2} \cos \left(\frac{y}{2}\right)-\left(1+\frac{\cos \left(x\right)}{2}\right) = 0\\ \Longleftrightarrow &\displaystyle \cos \left(\frac{y}{2}\right) =-\frac{1}{4} \pm \frac{1}{4} \sqrt{17+8 \cos \left(x\right)}\\ \Longleftrightarrow &\displaystyle \cos \left(\frac{y}{2}\right) =-\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \sqrt{17+8 \cos \left(x\right)} \end{array}\end{equation}

Answer 3

Deje que $0\lt x\le y\le z\lt\pi$ sean los tres semiangulos del triángulo, con $x+y+z=\pi$. Entonces, con el comentario de @Gribouillis, la condición $ac\gt b^2$ se traduce a

$$ \sin x\sin z\gt\sin^2y $$

y así, con $\sin z=\sin(\pi-x-y)=\sin(x+y)$, se tiene

$$ \sin x\sin(x+y)\gt\sin^2 y\;. $$

Aplicando el teorema de la suma se tiene

$$ \sin x(\sin x\cos y+\cos x\sin y)\gt\sin^2y\;. $$

Para resolver por $x$, aíslase $\cos x$,

$$ \cos x\gt\frac{\sin y}{\sin x}-\frac{\sin x}{\sin y}\cos y\;, $$

se eleva al cuadrado,

$$ \cos^2 x\gt\frac{\sin^2 y}{\sin^2 x}+\frac{\sin^2 x}{\sin^2 y}\cos^2y-2\cos y\;, $$

se utiliza $\sin^2x+\cos^2x=1$ y $\sin^2y+\cos^2y=1$ y se simplifica:

$$ 1+2\cos y\gt\frac{\sin^2 y}{\sin^2 x}+\frac{\sin^2 x}{\sin^2 y}\;. $$

Esta es una desigualdad cuadrática para $\frac{\sin^2 x}{\sin^2 y}$, y la rama de solución relevante en nuestro caso es

$$ \frac{\sin^2 x}{\sin^2 y}\gt\frac12+\cos y-\sqrt{\left(\frac12+\cos y\right)^2-1}\;. $$

Así, el límite para $x$ como función de $y$ es

$$ x\gt f(y):=\arcsin\left(\sin y\sqrt{\frac12+\cos y-\sqrt{\left(\frac12+\cos y\right)^2-1}}\right)\;. $$

El rango para $x$ es $0\lt x\le y$ si $y\le\frac\pi3$ y $0\lt x\le1-2y$ si $\frac\pi3\le y\lt\frac\pi2$. En este último caso, nunca tenemos $ac\gt b^2$, así que la probabilidad deseada es

\begin{eqnarray*} 1-\frac{\int_0^\frac\pi3f(y)\mathrm dy+\int_\frac\pi3^\frac\pi2(1-2y)\mathrm dy}{\int_0^\frac\pi3y\mathrm dy+\int_\frac\pi3^\frac\pi2(1-2y)\mathrm dy} &=& 1-\frac{\int_0^\frac\pi3f(y)\mathrm dy+\frac{\pi^2}{36}}{\frac{\pi^2}{18}+\frac{\pi^2}{36}} \\ &=&\frac23-\frac{12}{\pi^2}\int_0^\frac\pi3f(y)\mathrm dy\;. \end{eqnarray*}

Esto es $\frac15$ si tenemos

\begin{eqnarray*} \int_0^\frac\pi3f(y)\mathrm dy &=& \frac7{180}\pi^2 \\ &\approx& 0.383817948931253\;, \end{eqnarray*}

y de hecho eso es lo que una integración numérica de Wolfram|Alpha a $15$ lugares decimales arroja.

No he podido resolver la integral analíticamente, pero en cualquier caso, este es un enfoque muy poco elegante: un resultado simple como $\frac15$ para una probabilidad geométrica suele tener una explicación agradable basada en la simetría. Esperaba que alguien pudiera demostrar que exactamente $2$ de los $10$ triángulos formados por $5$ puntos cumplen la condición, pero esto está lejos de ser el caso; ese número varía entre $0$ y $5$. Aún así, no me sorprendería si alguien encuentra una solución elegante.

Answer 4

Sea el círculo fijo de radio unidad y centro $(0,0)$ y define los vértices del triángulo como: $$ B=(1,0),\quad C=(\cos\gamma,\sin\gamma),\quad A=(\cos\alpha,\sin\alpha), $$ donde $\gamma=\angle BOC <\alpha =\angle BOA$. Define como es usual: $$ a=BC,\quad b=AC,\quad c=AB. $$ La condición $b\ge a$ es equivalente a ${1\over2}(\alpha-\gamma)\ge{1\over2}\gamma$, es decir: $\alpha\ge2\gamma$. La condición $c\ge b$ es equivalente a $\pi-{1\over2}\alpha\ge{1\over2}(\alpha-\gamma)$, es decir: $\alpha\le\pi+{1\over2}\gamma$. Estas desigualdades pueden ser reescritas como: $$ 0\le\gamma\le{2\over3}\pi,\quad 2\gamma\le\alpha\le\pi+{1\over2}\gamma. $$ La condición $ac>b^2$ puede ser escrita como $$ \sin{\alpha\over2}\sin{\gamma\over2}>\sin^2{\alpha-\gamma\over2} $$ pero explicitar algunos límites para $\alpha$ y $\gamma$ es muy difícil. De todos modos, la probabilidad solicitada $p$ puede ser calculada desde: $$ p={\int_0^{2\pi/3}\int_{2\gamma}^{\pi+\gamma/2}I(\alpha,\gamma)\,d\alpha d\gamma \over \int_0^{2\pi/3}\int_{2\gamma}^{\pi+\gamma/2}d\alpha d\gamma}, $$ donde $$ I(\alpha,\gamma)=\cases{ 1 & if $\sin{\alpha\over2}\sin{\gamma\over2}>\sin^2{\alpha-\gamma\over2}$\\ 0 & otherwise } $$ Calculé eso numéricamente y obtuve $p\approx0.20000$, con Mathematica quejándose de que la estimación del error era $\approx0.00004$. Jugando con las opciones en Mathematica, o usando alguna otra herramienta, podría llevar a resultados más precisos.

Answer 5

$a = b - x$
$c = b + y$

$ac = (b - x)(b + y) = b^2 - [(x - y)b + xy]$

Para que $ac > b^2$, debe ser que $(x - y)b + xy < 0$
$(x - y)b < - xy$
$(y - x)b > xy$
$by - xy > bx$
$f(x) = y > \frac{bx}{b - x}$

Para algún valor de $b$, obtenemos el par ordenado $(x, y)$ y con eso obtenemos el conjunto $A$ que consiste en puntos $(a, b, c)$ tal que $ac > b^2$.

Necesitamos hacer algo similar para $ac \leq b^2$. Nuevamente deberíamos obtener un conjunto solución $B$, consistente en puntos $(a, b, c)$ tales que $ac \leq b^2$.

Nota, el dominio está/ tiene que estar restringido a $(a, b, c)$ donde $a, b, c$ son longitudes de los lados de un triángulo.

Luego $P(ac > b^2) = \frac{n(A)}{n(A) + n(B)}$

Deberíamos realmente estar trabajando con área, considerando la naturaleza continua de $a, b, c$, pero no sé cómo hacerlo.

P. S. $B = A^c$