En análisis complejo, constantemente nos enfrentamos a problemas sobre la analiticidad de una función, sobre la cual se desarrollan muchos teoremas. Por supuesto, conozco un montón de fórmulas y teoremas, pero no tengo ninguna intuición como la que tengo en el mundo de los números reales. Entonces, ¿qué significa intuitivamente la propiedad de analiticidad? ¿Podrías darme alguna pista de cómo relacionar esta propiedad con el análisis real?
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EDITAR: 16/11/2014, 3:40 pm ET. Permítanme incorporar la respuesta de Liviu Nicolaescu. (No estoy seguro de si esto es legítimo:-)
La analiticidad es una propiedad que se encuentra no solo en análisis complejo: una función de una variable real (o de una variable p-ádica) puede ser analítica. 'Analítico' realmente significa que en un entorno de cada punto en el dominio, la función puede expandirse en una serie de Taylor convergente. Esto implica el teorema de unicidad: los ceros de dicha función (de una variable) son aislados, a menos que sea idénticamente igual a cero. Entonces, las funciones analíticas son objetos rígidos: si dos de ellas son iguales en un entorno de un punto, entonces son iguales en todas partes. Este es el punto principal que es responsable de la distinción dramática entre la teoría de funciones analíticas y el resto del análisis.
Algunos de los hechos fundamentales sobre las funciones analíticas son los siguientes:
a) si una serie de potencias es convergente en más de un punto, entonces converge en un vecindario completo de un punto (Abel), y
b) una vez que tiene UNA serie de potencias convergente, entonces puede ser re-expandida alrededor de otro punto en una región de convergencia en una nueva serie de potencias. (Weierstrass). Estos hechos son independientes del sistema numérico utilizado. Estos hechos hacen posible el proceso de "continuación analítica", que no tiene análogo en el resto del análisis. (Por supuesto, la continuación analítica es más interesante sobre los números complejos).
En una exposición unificada de funciones analíticas sobre cualquier campo normado completo, consulte Bourbaki, Elementos de matemáticas, XXXIII, XXXIV. Variedades diferenciales y analíticas.
La especificidad del análisis complejo es que la diferenciabilidad simple (que parece ser una propiedad mucho más débil) implica analiticidad. Este es uno de los grandes milagros de los números complejos (Vea Roger Penrose, "El camino a la realidad. Una guía completa de las leyes del universo" para los otros milagros).
El milagro consiste en el hecho de que el simple requisito de diferenciabilidad implica no solo diferenciabilidad real sino también una EDP que se llama CR. Esta EDP es ELÍPTICA (y autónoma). Las soluciones de EDP autónomas elípticas son analíticas (=se expanden en una serie de Taylor). Para EDP elípticas de segundo orden en general, esto es un teorema de Bernstein.
El núcleo de Cauchy es la solución fundamental de esta EDP. Esta es la esencia de la teoría de Cauchy. Entonces tenemos la fórmula integral de Cauchy que expresa la función dentro de la región en términos de sus valores en la frontera.
Una razón por la cual esta clase de funciones es importante es que las soluciones de ecuaciones diferenciales y muchas otras ecuaciones funcionales son analíticas bajo ciertas condiciones amplias. Cuando Newton quería enunciar su principal descubrimiento en Cálculo en una oración, dijo aproximadamente lo siguiente: "Puedo evaluar cualquier integral o resolver cualquier ecuación diferencial sustituyendo una serie de potencias con coeficientes indeterminados en ella" (esto es mi propia comprensión de su mensaje codificado :-) Ver: Arnold sobre el anagrama de Newton Por ejemplo, $y(z)=e^z$ es la solución única de $y'=y, y(0)=1$. Así que es analítica.
Hay al menos dos razones independientes más por las cuales las funciones analíticas son importantes: una tiene que ver con el análisis armónico (funciones generadoras, en particular), y otra con la teoría espectral (el resolvente es analítico fuera del espectro).
Thibaut Barrère
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Las funciones analíticas complejas, aquellas que admiten expansiones en series de potencias en una variable compleja, también pueden ser caracterizadas como soluciones de una cierta ecuación diferencial parcial elíptica, a saber, la(s) ecuación(es) de Cauchy-Riemann.
Las funciones analíticas reales carecen de tales caracterizaciones. Además, la famosa fórmula del residuo de Cauchy es una manifestación del hecho de que el núcleo de Cauchy
$$\frac{1}{\pi\boldsymbol{i} z} $$
