Demostrando que la preimagen de un subgrupo normal es un subgrupo normal mostrando la igualdad de los cosets izquierdos y derechos

Question

Este es el Ejercicio 5 en la página 60 de Análisis I de Amann y Escher.

Ejercicio:

Sea $\varphi \colon G \to G'$ un homomorfismo y $N'$ un subgrupo normal de $G'$. Muestra que $\varphi^{-1}(N')$ es un subgrupo normal de $G$.

Discusión:

Encontré la respuesta de drhab aquí y demuestra que la normalidad se puede probar en aproximadamente dos líneas. Mi pregunta es si esto se puede probar mostrando la igualdad de los cocientes a izquierda y derecha. Mi texto (que se centra en análisis) define un subgrupo normal como aquel para el cual los cocientes a izquierda y derecha son iguales. No menciona la conjugación en absoluto.

Encontré que intentar probar que $g \odot \varphi^{-1}(N') = \varphi^{-1}(N') \odot g$ para $g \in G$ fue bastante difícil. No tenía idea de cómo usar la normalidad de $N'$, que asumí que era necesaria.

¿Alguien sabe cómo probar esto usando cocientes? Agradezco cualquier ayuda.

Answer 1

Sea $N:=\phi^{-1}N'$, es decir, $x\in N\iff \phi(x)\in N'$.

Entonces para cualquier $g\in G$, $x\in N$, $$\phi(gx)=\phi(g)\phi(x)\in \phi(g)N'=N'\phi(g)$$ $$\therefore\phi(gx)=y\phi(g), \exists y\in N'$$

La pregunta que queda es si $y=\phi(x')$ con $x'\in N$. Esto sucede, ya que $y=\phi(gx)\phi(g)^{-1}=\phi(gxg^{-1})$ entonces tomando $x':=gxg^{-1}$ luego $\phi(x')=y\in N'$ así que $x'\in N$.

Answer 2

Aquí hay un enfoque que intenta no usar nada equivalente a conjugados. (Para que conste, los conjugados son definitivamente el camino a seguir.)

La idea principal es $$g \odot \phi^{-1}(N') = \phi^{-1}(\phi(g) \odot N') = \phi^{-1}(N' \odot \phi(g)) = \phi^{-1}(N') \odot g.$$ Las primeras y últimas igualdades son dudosas y necesitan justificación. Haré la primera ya que la segunda es la misma.

Para $x \in G$, tenemos $$\begin{align*}x \in \phi^{-1}(\phi(g) \odot N') &\Leftrightarrow \phi(x) \in \phi(g) \odot N' \\ &\Leftrightarrow \phi(g)^{-1} \odot \phi(x) \in N' \\ &\Leftrightarrow \phi(g^{-1} \odot x) \in N' \\ &\Leftrightarrow g^{-1} \odot x \in \phi^{-1}(N') \\ &\Leftrightarrow x \in g \odot \phi^{-1}(N'). \end{align*}$$