¿Es una función un conjunto o una regla?

Question

Mi libro de texto dice que una función es un conjunto, y que es un tipo de relación, que también es un conjunto.

Ahora: $$f(x) = x+5$$ se llama una función, pero la expresión anterior no es un conjunto. Esto también es cierto para otras funciones, como funciones trigonométricas como $\sin x$, etc.

He escuchado argumentos de que una función es una regla, y se expresa como un conjunto. Pero cuando decimos que una función es un tipo de relación, esto implica directamente que es un conjunto.

Entonces, ¿qué es una función?

Answer 1

Es más preciso decir que el gráfico de la función es una relación y un conjunto. Si tenemos una función como un mapeo $f:X \to Y$ entonces su gráfico será el conjunto $\Gamma =\{(x,f(x)) :x \in X\}$. Nótese que $\Gamma \subset X \times Y$ lo que lo hace una relación. Sin embargo, dado que un gráfico determina completamente su función y una función determina completamente su gráfico, podemos afirmar que realmente son la misma cosa.

Answer 2

Deseo enfatizar que una función conceptualmente no es un conjunto. Sin embargo, en los cimientos convencionales de las matemáticas hoy en día, cada función puede ser codificada como un conjunto. Esta distinción es realmente importante si deseas tener un entendimiento preciso. Una analogía es que el número 13 no es conceptualmente la cadena decimal "13" aunque pueda ser codificado de esa manera.

Mira, podemos codificar una función $f$ como el conjunto $\{\ x,f(x) : xdom(f) \ \}$, pero también podemos codificarlo como $\{\ f(x),x : xdom(f) \ \}$. Ninguno de estos conjuntos son la función en sí misma. Pero por supuesto es extremadamente conveniente elegir una codificación para que podamos construir funciones (codificadas) usando herramientas de Teoría de Conjuntos (como usar la Unión para unir infinitamente muchas aproximaciones de una función deseada para construirla).

Además, incluso la codificación estándar implica pares ordenados. Al igual que las funciones, un par ordenado x,y conceptualmente no es un conjunto, pero puede ser codificado como $\{\{x\},\{x,y\}\}$. Esta codificación no es la única manera, obviamente. Podríamos haberlo codificado como $\{\{y\},\{x,y\}\}$ o $\{\{0,\{x\}\},\{1,\{y\}\}\}$ u infinitamente muchas otras codificaciones viables. Pero tenemos que elegir una y decir "usemos esta codificación para todos nuestros pares ordenados" para que podamos manipular pares ordenados dentro de nuestros cimientos de matemáticas elegidos.

Consulta esta publicación para ver otros objetos que conceptualmente no son conjuntos pero que uno puede optar por codificarlos como conjuntos.

Answer 3

En mi opinión, es más útil pensar en una función como algún procedimiento que toma un valor de entrada de algún tipo de "dominio" y produce un valor de algún tipo de "codominio".

Ahora, en la práctica, especialmente en campos aplicados, a menudo se ven funciones presentadas en formato de tabla. Por ejemplo, una tabla como la siguiente podría usarse para representar datos sobre el número de nacimientos por año en una ciudad hipotética.

Año    Número de nacimientos
------------------------
1998    20145
1999    21350
2000    21048
2001    22484
2002    22537

A partir de esta tabla, se puede construir una función. Es decir, el procedimiento asociado a la tabla es: buscas el valor de entrada en la primera columna, luego te mueves a la segunda columna en la misma fila y tomas ese valor como el valor de salida. Por supuesto, para que esta tabla represente una función, tiene que haber exactamente una fila para cada posible valor de entrada en el tipo de dominio. Así que, en el ejemplo anterior, la tabla corresponde a una función $f$ donde, por ejemplo, $f(1999) = 21350$ y $f(2002) = 22537$.

En contextos matemáticos, sin embargo, comenzamos a encontrarnos con problemas en la representación de tablas cuando queremos considerar funciones con un dominio infinito: en ese contexto, siempre se nos acabará el papel antes de poder listar todas las posibles filas de la tabla. Esto se puede solucionar considerando algún conjunto abstracto de pares ordenados como una generalización de la idea de tabla. Sin embargo, dado que ahora nos hemos trasladado a un conjunto abstracto en lugar de algo que se pueda ver en su totalidad, mi opinión es que esto se vuelve menos útil como modelo mental. (Por lo tanto, desde este punto de vista, la principal utilidad está principalmente en contextos formales, por ejemplo, si estás comenzando solo con el lenguaje y los axiomas de ZFC y quieres definir funciones en términos del lenguaje de ZFC. Esto sería algo mejor dejado para clases más avanzadas.

Otra cosa que posiblemente vale la pena mencionar, más relevante en el pasado que en el presente, serían las tablas logarítmicas y las tablas de funciones trigonométricas que solían publicarse. La idea allí sería aproximarse a la función logarítmica o a una de las funciones trigonométricas, mediante la función cuya regla se obtiene buscando los valores más cercanos en un gran conjunto de muestras para la entrada, y luego realizando interpolación lineal entre las dos muestras más cercanas. Técnicamente, podríamos decir que esto también tiene un tipo de codominio de alguna noción de números de "precisión fija", ya que las tablas solo pueden proporcionar un número finito de dígitos decimales de la salida.

(Como insinué anteriormente, también tiendo a gustarme la idea de utilizar la teoría informal de tipos como base para enseñar matemáticas, en lugar de la idea de usar la teoría de conjuntos informal que parece dominar actualmente. En mi opinión, la teoría de tipos representa más de cerca la forma en que los matemáticos piensan realmente sobre las cosas en su día a día, con la posible excepción de los teóricos de conjuntos axiomáticos. Sin embargo, admito que no tengo conocimiento de si se ha realizado un estudio formal de esta idea y si realmente daría como resultado mejoras en los resultados educativos.)

Answer 4

Cuando aprendí las bases de la teoría de conjuntos, aprendí (más o menos) qué era un conjunto. Luego aprendí qué era una relación entre dos conjuntos (digamos $X$ y $Y$): un subconjunto del producto cartesiano $X \times Y$.

Luego una función es una relación particular donde a lo sumo un elemento de $Y$ está relacionado con un elemento de $X$. Como el elemento imagen es único cuando existe, podemos escribir $y = f(x)$ en lugar de $xRy$.

Un paso más allá, encontramos aplicaciones, donde cada elemento de $X$ tiene una y solo una imagen. En términos funcionales, es una función donde el conjunto de definición es $X$ y no un subconjunto propio. E incluso más allá inyecciones, sobreyecciones y biyecciones.

Por supuesto, en la vida común (matemática) olvidamos que las funciones no son más que relaciones debido a las numerosas operaciones que usamos con ellas, y que no tendrían sentido para relaciones: composición, derivación, integración, etc.

Dicho de otra manera, las funciones están definidas como relaciones (e indirectamente como conjuntos) y se usan como reglas.

Answer 5

Cuando decimos que $f: X \to Y$ es una función, simplemente queremos decir que para cada $x\in X$, el símbolo $f(x)$ se refiere a algún elemento particular de $Y$. Es simplemente una forma de identificar algunos elementos de un conjunto ($Y$, el codominio) por los elementos de otro ($X$, el dominio). En este sentido, $f$ no es realmente una cosa, es solo parte de un patrón de símbolos utilizados para referirse a algunas cosas.

Este tipo de idea abstracta y desconectada de una función es tanto difícil de enseñar como difícil de ser riguroso, por lo que nos gusta enmarcar una función como algo específico y concreto. Sin embargo, diferentes situaciones requieren enfoques diferentes.

La primera vez que encontramos funciones en nuestra educación es típicamente en el contexto del álgebra, donde estamos interesados en asignaciones que pueden ser escritas como expresiones algebraicas que involucran una variable. Por ejemplo, $f(x) = x+5$ es una función en el sentido del primer párrafo -- toma cualquier número real $x$, y $x+5$ es otro número real, específicamente el que se refiere a través de $f(x)$. Pero en este contexto, es como una máquina o una regla, un algoritmo consistente para convertir $x$'s en $f(x)$'s, por lo que así es como generalmente se enseña. Si nos sentimos cómodos pensando en $f$ como una caja negra, cuyo algoritmo interno no conocemos, entonces esta idea de "función como regla" es equivalente a la original.

Por otro lado, cuando se trata de escribir demostraciones matemáticas rigurosas, tener una construcción verdaderamente concreta de una función a partir de los objetos matemáticos existentes es casi necesario. Aquí es donde entra la idea de funciones como conjuntos. Comenzamos definiendo una relación entre $X$ y $Y$ simplemente como un subconjunto de los pares $X\times Y$, y una función como una relación donde cada $x$ aparece como el primer elemento de exactamente un par en la relación; el segundo elemento de ese par se llama entonces $f(x)$. Tal definición proporciona un punto base consistente desde el cual escribir demostraciones sobre funciones. La mayor parte del tiempo, en realidad no necesitas regresar a la construcción formal de conjuntos, pero el hecho de que exista es una garantía de que las matemáticas que estás haciendo tienen algún fundamento.

Podríamos idear cualquier cantidad de otros modelos para funciones basados en diferentes fundamentos (o la falta de ellos), pero en la práctica, tendemos a trabajar tan lejos de los fundamentos que el modelo es irrelevante para el trabajo. Cualquier cosa que haga que tu cerebro esté en el espacio que necesita estar para hacer matemáticas correctas es suficiente.