¿Es una función un conjunto o una regla?

Question

Mi libro de texto dice que una función es un conjunto, y que es un tipo de relación, que también es un conjunto.

Ahora: $$f(x) = x+5$$ se llama una función, pero la expresión anterior no es un conjunto. Esto también es cierto para otras funciones, como funciones trigonométricas como $\sin x$, etc.

He escuchado argumentos de que una función es una regla, y se expresa como un conjunto. Pero cuando decimos que una función es un tipo de relación, esto implica directamente que es un conjunto.

Entonces, ¿qué es una función?

Answer 1

¡Lo interesante es que puedes verlo de ambas maneras!

Por un lado, una función puede ser absolutamente considerada como una regla. Si se te da un valor específico $x$, entonces una función como $f(x)=x+5$ te dice hacia dónde se mapea ese $x$. Por lo tanto, una función puede interpretarse como una regla que toma una entrada, la transforma y luego devuelve una salida.

Por otro lado, también puede ser considerada como un conjunto. Podemos escribir esto en notación de conjuntos, algo como $\{(x,x+5) \mid x \in \mathbb{R}\}$, pero en realidad es aún más fácil que eso. ¡Ya has visto $f(x)$ como un conjunto, en forma de una línea en un gráfico! Esa línea representa todos los puntos en ese mismo conjunto de pares escritos arriba.

A medida que avanzas en matemáticas, descubrirás que esto a menudo es cierto, que los objetos pueden ser vistos a través de múltiples lentes, cada una de las cuales ofrece su propia perspectiva :)

Answer 2

¡Buena pregunta! Pensamos en las funciones de manera diferente en diferentes contextos.

Incluso cuando estamos aprendiendo sobre funciones por primera vez, aprendemos a representarlas de diferentes formas: mediante una tabla de valores, una ecuación o un gráfico. (De estas, el gráfico es claramente un conjunto). Elegimos la representación que sea más útil para lo que estamos tratando de hacer, y cambiar mentalmente de representación a menudo puede ser de gran ayuda para resolver problemas.

Tomando tu ejemplo, en algunos contextos, la gente pensará en $f(x)=x+5$ como una regla que hace que los números sean mayores en $5$; tal vez lo visualizarían como deslizar los puntos cinco unidades a la derecha a lo largo de una recta numérica.

En otras situaciones, la gente llamará a $f(x)=x+5$ una línea, porque están pensando en el gráfico de la función, que es definitivamente un conjunto (el conjunto de puntos $(x,y)$ en los que la ecuación $y=x+5$ es verdadera).

También quiero mencionar algo sobre el tipo de respuestas que creo que obtendrás a esta pregunta. Tu pregunta específica estimula naturalmente a la gente a preguntarse a sí mismos, "Bueno, ¿qué es una función realmente?" Los matemáticos están entrenados para responder a esta pregunta refiriéndose a la definición de "función". La comunidad matemática ha acordado definir una "función" como un conjunto --- un tipo especial de relación. Eso es cierto incluso aunque, cuando realmente trabajamos con funciones, casi siempre las estamos pensando como reglas que convierten la entrada en salida. Esto es sorprendente, y merece ser explicado.

En matemáticas modernas, "función" es un concepto fundamental, y cuando piensas en el contexto de desarrollar toda las matemáticas desde cero, la palabra "función" se va a definir bastante temprano, en una etapa en la que se han definido muy pocos otros términos. En ese contexto, sin embargo, asumimos que ya sabemos qué son los conjuntos. Eso hace conveniente empezar con el punto de vista del "gráfico", y definir una "función" como un tipo especial de relación. Así que más allá de cierto punto en el currículo, es probable que los libros de texto definan funciones como conjuntos, y las personas que responden a esta pregunta probablemente responderán en esos términos.

Por cierto, la gente no hablaba de funciones en absoluto hasta que se estaba desarrollando el cálculo en los años 1600, y (sorprendentemente) realmente no llegamos a establecer nuestra definición moderna de función hasta bien entrado en los años 1900. ¡Fue difícil descifrar qué debía significar realmente "función"! Así que no dejes que nadie te diga que todo esto es obvio.

Answer 3

¿Es una función un conjunto o una regla?

Depende de lo formal que quieras ser.

Puedes definir una función $f$ de un conjunto $A$ a un conjunto $B$ como una regla que asigna cada elemento de $A$ a exactamente un elemento de $B$. Por otro lado, dado que casi todos los conceptos matemáticos se pueden formalizar dentro de la teoría de conjuntos, también puedes ser más formal y definir una función $f$ de un conjunto $A$ a un conjunto $B$ como un subconjunto de $A\times B$ tal que se cumplen las siguientes dos condiciones:

$(1)$ Para cada $x\in A$ existe un $y\in B$ tal que $(x,y)\in f.$

$(2)$ Si $(x,y)\in f$ y $(x,z)\in f,$ entonces $y=z$.

Answer 4

Una función de un conjunto $X$ a un conjunto $Y$ es de hecho un tipo especial de relación entre $X$ y $Y$, la cual a su vez es un subconjunto de $X \times Y$. Entonces la notación $f(x)$ es una forma abreviada de decir "el único elemento $y$ del conjunto $Y$ tal que $y$ está relacionado con $x$ por la relación $f$".

La pregunta entonces es cómo especificar una función $f: X \to Y$. Si $X$ es un conjunto infinito, por supuesto, es prácticamente imposible especificar $f$ enumerando todos los pares $(x, f(x))$ uno por uno. Por lo tanto, si realmente deseas seleccionar una función específica, por ejemplo una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, necesitas proporcionar una descripción que un ser humano pueda comprender en un tiempo finito. No hay requisito en la definición de una función de que cada función deba tener una descripción comprensible por un ser humano en un tiempo finito, es decir, que cada función debe ser definible por alguna "regla", pero eso es un asunto diferente.

Si deseas ser muy explícito, en lugar de hablar sobre "la función $f(x) = x+5$ puedes hablar sobre "la función única $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f(x) = x+5$ para cada $x \in \mathbb{R}$". Por supuesto, este tipo de precisión pedante no es requerida en la mayoría de contextos.

Nota que "la función $f(x) = x+5$" es la misma función que "la función $f(x) = (x + 6) - 1$" o "la función $f(x) = (x^2 + 3x - 10) / (x - 2)$ para $x \neq 2$ y $f(x) = 7$ para $x = 2$". Es decir, puedes tener varias descripciones de la misma función que son equivalentes de una manera no obvia, pero aún así seleccionan la misma función.

Answer 5

No existe una definición de "regla" en matemáticas. Si, por "regla", te refieres a "algoritmo", entonces "algoritmo" tiene una definición precisa, pero una función y el programa definido por un algoritmo son dos cosas muy diferentes y no deben confundirse en absoluto.

Ahora, $f(x) = x + 5$ tampoco es una función (si se toma en serio, es más probable que sea una ecuación con una variable no especificada, $x$). Sin embargo, el conjunto $\{(x, x+5) \ \vert \ x \in \mathbb{R}\}$ es en efecto una función, y podría ser lo que querías escribir. También podrías haber dicho « Defino $f$ como la función que asigna cualquier número real $x$ a $x+5$».