significado geométrico de una identidad trigonométrica

Question

De la ley de los cosenos se deduce que si $a,b,c$ son las longitudes de los lados de un triángulo con sus respectivos ángulos opuestos $\alpha,\beta,\gamma$ entonces $$ a^2+b^2+c^2 = 2ab\cos\gamma + 2ac\cos\beta + 2bc\cos\alpha. $$

Para un polígono cíclico (es decir, inscrito en una circunferencia), considere que el ángulo "opuesto" a un lado es el ángulo entre las diagonales adyacentes cuyos puntos extremos son los de ese lado (no importa qué vértice del polígono sirve como vértice de ese ángulo debido a la Teorema del ángulo inscrito ). Entonces para un cuadrilátero cíclico con lados $a,b,c,d$ y ángulos opuestos $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ se puede demostrar que $$ \begin{align} a^2+b^2+c^2+d^2 = {} & 2ab\cos\gamma\cos\delta + 2ac\cos\beta\cos\delta + 2ad\cos\beta\cos\gamma \\ & {} +2bc\cos\alpha\cos\delta+2bd\cos\alpha\cos\gamma+2cd\cos\alpha\cos\beta \\ & {}-4\frac{abcd}{(\text{diameter})^2} \end{align} $$ Y para un pentágono cíclico, con lados $a,b,c,d,e$ y los respectivos ángulos opuestos $\alpha,\beta,\gamma,\delta,\varepsilon$ , $$ \begin{align} a^2 + \cdots + e^2 = {} & 2ab\cos\gamma\cos\delta\cos\varepsilon+\text{9 more terms} \\& {} - 4\frac{abcd}{(\text{diameter})^2}\cos\varepsilon+ \text{4 more terms} \end{align} $$ Y para un cíclico $n$ -gon con lados $a_i$ y ángulos opuestos $\alpha_i$ , $$ \begin{align} \sum_{i=1}^n a_i^2 = {} & \text{a sum of }\binom{n}{2}\text{ terms each with coefficient 2} \\ & {} - \text{a sum of }\binom{n}{4}\text{ terms each with coefficient 4} \\ & {} + \text{a sum of }\binom{n}{6}\text{ terms each with coefficient 6} \\ & {} - \cdots \end{align} $$ El número de términos depende de $n$ y la potencia del diámetro en el fondo es en cada caso lo que se necesita para que el término sea homogéneo de grado $2$ en las longitudes de los lados ("corrección dimensional", si le gusta el lenguaje de los físicos), y la alternancia de signos continúa.

Lo demostré por inducción. También debería funcionar para infinitos lados, tomando límites. Cada término tendría entonces un producto de infinitos cosenos.

Mi pregunta es: ¿Existe alguna interpretación geométrica razonable de la suma de los cuadrados de los lados de un polígono inscrito en un círculo?

Answer 1

No he trabajado hasta lo arbitrario $n$ pero he manejado los casos $n=3$ y $n=4$ para seguir su ejemplo y se vuelve tentador escribir "+4 términos" y así sucesivamente.

Creo que la interpretación geométrica de eso se reduce a interpretar geométricamente la ley del coseno, ya que es la herramienta principal en sus argumentos.

EDIT : Se me acaba de ocurrir algo : supongamos que los lados del polígono inscrito son casi iguales, o incluso mejor, que forman un polígono regular. Considere la siguiente imagen :

Se pueden considerar los cuadrados como un prisma que se elevó sobre el polígono inscrito y luego se desdobló. La suma de los cuadrados puede considerarse entonces una aproximación al área lateral de un cilindro cuya altura es la media de los $a_i$ es decir, si se deja $$ \mu = \frac{\sum_{i=1}^n a_i}n, $$ podemos argumentar intuitivamente que $$ \sum_{i=1}^n a_i^2 \approx 2 \pi r \mu. $$ Espero que eso ayude,

Answer 2

En lugar de responder a la pregunta que ha formulado, permítame hacer varias observaciones.

En primer lugar, por homogeneidad, podemos considerar el caso de que el diámetro del círculo sea 2, o que el radio sea 1. En este caso, entonces, la trigonometría básica nos da que $a = 2 \sin \alpha$ , $b = 2\sin \beta$ etc.

Por tanto, el lado derecho está formado por términos de la forma $$\sin \times \sin \times \cos \times \cos\times \cos + \sin \times\sin \times\sin\times \sin \times \cos + \dots $$ que debería recordar a la regla de adición de ángulos para el coseno.

De hecho, tenemos que

$$ \cos \sum \theta_k = \Re \exp \sum i\theta_k = \Re \prod \left( \cos \theta_k + i \sin\theta_k\right) $$

que es similar al RHS que has escrito, excepto que en tu RHS no tienes el término $\prod \cos\theta_k$ . Este término puede ser recuperado por lo que tiene en el LHS.

Tenga en cuenta que si tiene un polígono inscrito, $\sum \theta_k = \pi$ . Así que $\cos \sum\theta_k = -1$ . Observa que el LHS de tu ecuación es proporcional a $\sum \sin^2\theta_k$ y observe lo siguiente:

$$\begin{align} \sum 2\sin^2\theta_k & = \sum (1 - \cos(2\theta_k))\\ & = N - \sum_{k\neq 1} \cos(2\theta_k) - \cos 2\theta_1 \end{align}$$

Ahora usando eso $\sum \theta_k = \pi$ , lo consigues $\cos2\theta_j = \cos(2\pi - 2\theta_j) = \cos(\sum_{k\neq j} 2\theta_k)$ . Y observamos que

$$ \cos(\sum_{k\neq j} 2\theta_k) = 2\cos(\sum_{k\neq j}\theta_j)\cos(\pi - \theta_k) - 1$$

donde para $\cos(\sum_{k\neq j}\theta_j)$ podemos utilizar inductivamente la expresión polinómica que ya hemos derivado. Haciendo esto para todos los términos se llega a

$$ \sum \sin^2 \theta_k = 2N(1+\prod_k\cos\theta_k) + P \quad\quad (\sharp)$$

donde $P$ es un polinomio en $\cos\theta_k$ y $\sin\theta_k$ que contiene términos con un número positivo y par de factores en $\sin$ .

Así que tal vez una mejor interpretación de su identidad es en realidad como la identidad de la fórmula de adición de ángulos para el coseno, junto con la identidad (#) anterior, que se mantiene para una lista de ángulos $\theta_k$ que suma $\pi$ .

Answer 3

Como señaló @t.b. hace años, la identidad del triángulo no se deduce de la ley de los cosenos, sino que prueba la Ley de los Cosenos. Aquí hay un (otro) enlace a mi respuesta que representa que .

Puedo conseguir cerrar para ilustrar la identidad del cuadrilátero cíclico utilizando una estrategia comparable de dejar caer una miríada de perpendiculares. Para simplificar, sólo mostraré las perpendiculares caídas al lado $a$ :

La simple trigonometría del triángulo rectángulo muestra que podemos descomponer el lado $a$ en longitudes $b \cos\gamma \cos\delta$ , $d \cos\gamma \cos\beta$ y $c \cos\delta \cos\beta - c\sin\beta \sin\delta$ (donde tomamos por fe que todos los signos trigonométricos hacen lo correcto para los ángulos obtusos). Así, el área del cuadrado de lado $a$ es la suma de las áreas de los rectángulos de lado $a$ y esas otras longitudes:

$$a^2 = a b \cos\gamma \cos\delta + a d \cos\gamma \cos\beta + a ( c \cos \beta \cos \delta - c \sin\beta \sin\delta)$$

De la misma manera para otros lados, para que podamos tirar todo junto y escribir

$$\begin{align} a^2 + b^2 + c^2 + d^2 &= 2 a b \cos\gamma\cos\delta + 2 a c \cos\beta \cos\delta + 2 a d \cos\beta \cos\gamma \\ &+2b c\cos\alpha\cos\delta + 2 b d\cos\alpha\cos\gamma+2cd\cos\alpha\cos\beta \\ &-2a c \sin\beta\sin\delta - 2 b d\sin\alpha \sin \gamma \end{align} \tag{$ \N - La estrella $}$$

Lo que no queda claro en el diagrama es que, con $k$ que denota el circundiámetro, $$a c \sin\beta\sin\delta = b d\sin\alpha \sin\gamma = \frac{abcd}{k^2} \tag{$ |star $}$$ que da el resultado deseado. Por supuesto, nosotros connaître $(\star\star)$ es verdadera, porque la cuerda subtendida por un ángulo inscrito $\theta$ tiene una longitud $k \sin\theta$ ---esto es efectivamente una prueba de la Ley de los Senos--- pero un diagrama ideal incorporaría la relación.

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Observaré que, al dejar caer sólo dos perpendiculares desde los puntos extremos del lado $c$ se puede derivar la descomposición $$a = b \cos(\gamma+\delta) + c\cos(\beta-\delta)+d\cos(\beta+\gamma)$$ Esto puede ser más fácil de ver, pero tener que expandir los factores trigonométricos compuestos anula el propósito de ilustrando la relación de destino, ya que se requiere demasiada manipulación de símbolos.