De la ley de los cosenos se deduce que si $a,b,c$ son las longitudes de los lados de un triángulo con sus respectivos ángulos opuestos $\alpha,\beta,\gamma$ entonces $$ a^2+b^2+c^2 = 2ab\cos\gamma + 2ac\cos\beta + 2bc\cos\alpha. $$
Para un polígono cíclico (es decir, inscrito en una circunferencia), considere que el ángulo "opuesto" a un lado es el ángulo entre las diagonales adyacentes cuyos puntos extremos son los de ese lado (no importa qué vértice del polígono sirve como vértice de ese ángulo debido a la Teorema del ángulo inscrito ). Entonces para un cuadrilátero cíclico con lados $a,b,c,d$ y ángulos opuestos $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ se puede demostrar que $$ \begin{align} a^2+b^2+c^2+d^2 = {} & 2ab\cos\gamma\cos\delta + 2ac\cos\beta\cos\delta + 2ad\cos\beta\cos\gamma \\ & {} +2bc\cos\alpha\cos\delta+2bd\cos\alpha\cos\gamma+2cd\cos\alpha\cos\beta \\ & {}-4\frac{abcd}{(\text{diameter})^2} \end{align} $$ Y para un pentágono cíclico, con lados $a,b,c,d,e$ y los respectivos ángulos opuestos $\alpha,\beta,\gamma,\delta,\varepsilon$ , $$ \begin{align} a^2 + \cdots + e^2 = {} & 2ab\cos\gamma\cos\delta\cos\varepsilon+\text{9 more terms} \\& {} - 4\frac{abcd}{(\text{diameter})^2}\cos\varepsilon+ \text{4 more terms} \end{align} $$ Y para un cíclico $n$ -gon con lados $a_i$ y ángulos opuestos $\alpha_i$ , $$ \begin{align} \sum_{i=1}^n a_i^2 = {} & \text{a sum of }\binom{n}{2}\text{ terms each with coefficient 2} \\ & {} - \text{a sum of }\binom{n}{4}\text{ terms each with coefficient 4} \\ & {} + \text{a sum of }\binom{n}{6}\text{ terms each with coefficient 6} \\ & {} - \cdots \end{align} $$ El número de términos depende de $n$ y la potencia del diámetro en el fondo es en cada caso lo que se necesita para que el término sea homogéneo de grado $2$ en las longitudes de los lados ("corrección dimensional", si le gusta el lenguaje de los físicos), y la alternancia de signos continúa.
Lo demostré por inducción. También debería funcionar para infinitos lados, tomando límites. Cada término tendría entonces un producto de infinitos cosenos.
Mi pregunta es: ¿Existe alguna interpretación geométrica razonable de la suma de los cuadrados de los lados de un polígono inscrito en un círculo?
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Esto fue publicado de forma cruzada en MO . Michael, por favor, espera algún tiempo antes de publicar tu pregunta en múltiples foros, y cuando lo hagas, proporciona enlaces a los otros mensajes (ya hay una respuesta en el de MO por Noam Elkies).
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Me opongo ligeramente a la noción de que la primera identidad se desprende de la ley de los cosenos: de hecho, la prueba trigonométrica habitual procede multiplicando $c = a\cos{\beta} + b\cos{\alpha}$ por $c$ . Haciendo esto para cada lado y escribiendo $a^2 + b^2 - c^2$ te da la ley de los cosenos, escribiendo $a^2 + b^2 + c^2$ le da la identidad por la que pregunta.
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No es una interpretación geométrica, sino una observación: Suponiendo que el polígono sea convexo (un requisito para cada $\alpha_i$ para ser determinado de forma única), tenemos $a_i = 2 r \sin{\alpha_i}$ , donde $r$ es el radio del círculo. Además, los arcos determinados por los lados del polígono (obviamente) comprenden el círculo completo; por lo tanto, los ángulos inscritos suman $\pi$ . Así, dividiendo su fórmula por $4 r^2$ deja una identidad trigonométrica para la suma de cuadrados de los senos de $n$ ángulos (no negativos) que suman $\pi$ .
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@Theo: Aquí hay una foto. :) math.stackexchange.com/questions/803/