No hay una sola respuesta a esta pregunta, pero por supuesto hay que tener en cuenta: los circuitos no son nada matemático, son abstracciones, y por lo tanto la representación matemática adecuada es aquella que representa el comportamiento del sistema deseado. Esto es solo una pequeña observación, en respuesta a cualquiera tentado a decir "los circuitos son ecuaciones diferenciales" o "los circuitos son diagramas de flujo de señales."
Un tratamiento muy bueno que combina análisis de circuitos práctico con fundamentos matemáticos rigurosos es Circuitos Lineales y No Lineales de Chua, Kuh y Desoer (fragmentos en línea). Este libro es notable por manejar explícitamente el comportamiento no lineal, dependiente del tiempo y distribuido (con retardo de propagación finito), y utiliza diagramas dirigidos y álgebra lineal para representar circuitos linealizados. Encontrarás un excelente tratamiento práctico del enfoque teórico de grafos (siendo quizás el modelo abstracto más intuitivamente satisfactorio de un circuito) en el primer capítulo de Circuitos Lineales y No Lineales.
Para responder a la pregunta, entonces, en un sentido podemos representar una red como una colección de nodos $\mathcal N$ y una colección de aristas dirigidas y ponderadas $\mathcal E$ entre esos nodos, donde la dirección define la dirección de referencia para la corriente entre los nodos (donde la corriente se toma como un concepto fundamental que obedece a KVL y KCL, los axiomas de esta teoría). Además, en una red conectada (es decir, donde cada nodo es alcanzable desde cualquier otro a través de aristas) definimos un potencial $e$ en cada nodo relativo a un nodo de referencia arbitrario $n$ de manera que $e_n = 0$ y $e_a = 0$ si y solo si $a$ y $n$ son el mismo nodo; para todos los circuitos conectados siempre para todos los tiempos $t$ y cualquier par de nodos $a,b$, para todas las elecciones de nodo de referencia $n$, la diferencia de potencial siempre está bien definida y dada por $$ v_{ab} = e_a - e_b \qquad\qquad\text{(KVL)} $$ El segundo axioma de esta teoría es la ley de los nodos, que establece que para todos los circuitos lumped, para todos los tiempos $t$, la suma algebráica de corrientes que salen de cualquier nodo es igual a cero (donde saliendo se define en relación a la dirección de cada arista conectada al nodo).
Las definiciones y axiomas dados anteriormente claramente no son suficientes para determinar de manera única el voltaje y las corrientes de una red dada, para lo cual debemos especificar el papel de los pesos de las aristas con respecto a los voltajes y corrientes en la red. Un ejemplo familiar es la restricción de un resistor lineal de dos terminales que aplica la restricción $v_{ab} = r i$ donde $i$ es la corriente a través de una arista de peso $r$ conectada entre nodos $a$ y $b$. Este peso es independiente del tiempo y es independiente de los voltajes y corrientes en cualquier otra parte del circuito. Otros componentes imponen diferentes restricciones, por ejemplo, las fuentes actúan como resistencias negativas, inductores y capacitores imponen restricciones dependientes del tiempo (a través de ecuaciones diferenciales), componentes no lineales imponen restricciones no lineales, etc.
