¿Esta secuencia está acotada o no acotada?

Question

Sea $\{ a_n \}_{n=0}^\infty$ la secuencia dada por $a_0 = 3$ y $$a_{n+1} = a_n - \frac{1}{a_n}, \quad n\ge 0.$$(se puede ver fácilmente que la secuencia está bien definida).

Pregunta: ¿Está acotada esta secuencia o no?

Solo pude mostrar que hay infinitos $n \geq 0$ tal que $a_n > 0$ e infinitos $n \geq 0$ tal que $a_n < 0$ de esta manera:

supongamos por ejemplo que eventualmente tenemos $a_n > 0$. Pero entonces $a_n$ es eventualmente estrictamente decreciente y así, usando el hecho de que eventualmente $a_n > 0$ junto con el teorema de la convergencia monótona para secuencias, obtenemos que $a_n$ es convergente, lo cual es absurdo porque esto implicaría, junto con el hecho de que $a_{n+1} a_n = a_n^2 - 1$ para todo $n$, que su límite $L \in \mathbb{R}$ satisface la ecuación $L^2 = L^2 - 1$. Usando el mismo razonamiento se puede mostrar que $a_n < 0$ eventualmente lleva a una contradicción.

Creo que la pregunta sobre la acotación es mucho más difícil de entender porque esta secuencia se comporta de una manera muy caótica.

Answer 1

$\color{brown}{\textbf{Puntos infinitos.}}$

Fácil de comprobar que las funciones $$f_n(x)=\,\underbrace {f(f(f(\dots(f(x)))))}_n,\quad\text{donde}\quad f(x)=x-\frac1x=2\sinh \ln x,\quad f_0(x)=x,\tag1$$ mapean $\;\mathbb Q\mapsto \mathbb Q.\;$

Por otro lado, hay exactamente dos funciones $$g_\pm(x)= \dfrac{x\pm\sqrt{4+x^2}}2=\dfrac2{x\mp\sqrt{4+x^2}},\quad\text{tales que}\quad f(g_\pm(x))=x,\quad\text{en donde}$$ $$ g_\pm(+\infty)=\dbinom{-0}{+\infty},\quad g_\pm(-\infty)=\dbinom{+0}{-\infty},\quad g_\pm(\pm0)=\dbinom{1}{-1},\quad g_\pm(\pm1)=\frac{\pm\sqrt5\pm1}2.$$ Si $\;a_n=\pm\infty,\;$ entonces $$a_{n-2}\in \left(\pm\infty \bigcup \frac{\pm\sqrt5\pm1}2\right),\quad a_{n-k}=\frac{\pm\sqrt5\pm1}2\not\in\mathbb Q.$$ Por lo tanto, $\;\forall (N)\, \forall (n\le N)\; a_n\not=\pm\infty.\;$

Es decir, la secuencia dada no contiene el infinito como un valor.

$\color{brown}{\textbf{Secuencias periódicas.}}$

Definamos las secuencias periódicas a través de la ecuación $\;f_T(\tilde x)=\tilde x,\;$ donde $\,\tilde x\,$ es una base y $\,T\,$ es un período.
Por ejemplo, $\;\dbinom {\tilde x}T=\dbinom {\sqrt2^{\,-1}}2.\;$

Reescribiendo la ecuación en la forma de $\;f_{k-1}(x)=g_\pm(x)\;$ y teniendo en cuenta que $\;g_\pm(3)=\dfrac{3\pm\sqrt{13}}2\not\in\mathbb Q,\;$ es fácil de probar que la secuencia dada no es periódica.

Al mismo tiempo, $$f'(x)=1+\dfrac1{x^2},\quad f'_k(x)=\prod\limits_{j=1}^{k-1} f'(f_j(x)) =\prod\limits_{j=1}^k\left(1+\dfrac1{f^2_{k-1}(x)}\right)>f'_{k-1}>1,\quad (k\in\mathbb N),$$ así debe haber un polo entre las bases vecinas con el período dado.

Por lo tanto, $\,f_k(x)\,$ tiene brechas de menos infinito en los polos y piezas crecientes con $\,f'_k(x)>1\,$ entre los polos.

Si consideramos la ecuación $\;x_{n+1}=f_k(x_n)\;$ como la iteración simple, entonces no hay vecindario de $\,x=3\,$ que pueda ser comprimido a través de la iteración. Es decir, la condición suficiente de convergencia de la iteración simple no se cumple en los vecindarios de $\;x=3.$

$\color{brown}{\textbf{Modelo heurístico del proceso.}}$

Consideremos el modelo con un par de pasos repetidos:

• Decremento de $\;x=|a_n|\;$ desde $\;M_k>1\;$ hasta $\;m_k<1,\;$ con distribución homogénea.
• La brecha de $\,x\,$ desde $\,m_k\,$ hasta $\;M_{k+1}=\dfrac1{m_k}-m_k.\;$

Modelando el primer paso a través de la EDO $$\dfrac{\text dx}{\text dt}=-\dfrac1x,\quad x(0)=M_k,\tag2$$ se obtiene $\;x=\sqrt{M^2_k-2t},\quad t_k =\dfrac12(M_k^2-1)\;\text{iteraciones},\;$ y con 2 iteraciones adicionales por paso tenemos $$N_s(M)=\dfrac12(M^2+3).\tag3$$

La cantidad promedio de iteraciones en el paso con $\;M_k|g_-(M)|=\frac1{g_+(M)}\;$ es igual a $$\bar N_s=\dfrac {g_+(M)}{2(g_+(M)+1)}\int\limits_{\frac1{g_+(M)}}^1 \left(\left(\dfrac1m-m\right)^2+3\right)\,\text dm =\dfrac {g_+(M)}{2(g_+(M)+1)}\left(-\dfrac1m+m+\dfrac13m^3\right)\bigg|_{\frac1{g_+(M)}}^1$$ $$ =\dfrac {g_+(M)\,m}{6(g_+(M)+1)}\left(-\dfrac4{m^2}+1+\left(\dfrac1m-m\right)^2\right)\bigg|_{\frac1{g_+(M)}}^1 =\dfrac {4g^2_+(M)-3g_+(M)-1-M^2}{6(g_+(M)+1)},$$ $$\bar N_s(M) =\dfrac{2M^2-3M+6+(4M-3)\sqrt{4+M^2}}{12(g_+(M)+1)}. \tag4$$ Suponiendo que la cantidad promedio de pasos requeridos antes de que $M_k>M$ sea $\;g_+(M)+1\;$ da $$\bar N_\Sigma(M)\approx\dfrac{2M^2-3M+6+(4M-3)\sqrt{4+M^2}}{12}\tag5$$ iteraciones en total.

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$\color{brown}{\mathbf{Tablas\;a_{0\dots49},\;a_{50\dots99},\;a_{100\dots149},\;a_{150\dots189}.}}$

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$\color{brown}{\textbf{Conclusiones.}}$

Existen razones para las siguientes hipótesis:

• la secuencia dada es ilimitada.
• la cantidad promedio de iteraciones antes de que $|a_{N+1}|>M$ está definida por la expresión $(5)$.