¿Hay algún grupo de $H\times K$ donde $H\times 1$ $1\times K$ son los únicos subgrupos de orden $n$?

Question

$G=H\times K$ donde $H$ $K$ son no isomorfos de los grupos de orden $n$.

Estoy buscando un ejemplo de que $G$ no tiene subgrupos de orden $n$ con la excepción de$H\times 1$$1\times K$.

Si alguien puede encontrar un grupo, yo estaría agradecido.

Edit: Vamos a $G$ ser un ejemplo, a continuación, $H\times 1$ $1\times K$ debe ser la característica del grupo en $G$, lo que significa $\operatorname{Aut}(G)\cong \operatorname{Aut}(H)\times \operatorname{Aut}(K)$ y claramente $(|H|,|K|)\neq 1$. Esto puede hacer la pregunta fácil.(para llegar a la contradicción)

Answer 1

Esta pregunta es contestada en este MathOverflow hilo.

Hay un ejemplo en un documento de 2002 de Guralnick (Grupos con exactamente dos subgrupos de un orden dado, Comunicaciones en Álgebra, Vol. 30, Nº 9, pp 4401-4406), pero parece como si era un problema hasta entonces.