Demostrar que una función es impar

Question

Supongamos que existe una función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que es biyectiva y satisface $$ f(x) + f^{-1}(x)=x $$ para todos $x$ . Aquí $f^{-1}$ es la función inversa. Demuestre que $f$ es impar.

Esto fue un rompecabezas que me dio un amigo. Otras dos preguntas relacionadas son:

1. Demostrar que $f$ es discontinuo
2. Dé un ejemplo de dicha función (si es que existe).

Editar: Como idea inicial, ¿quizás enfocar el problema gráficamente ayudaría? Una función y su inversa son reflexiones de la otra sobre $y=x$ en el $x$ - $y$ plano. ¿Esto lleva a alguna parte?

Answer 1

He aquí, por último, un ejemplo constructivo de solución, continua excepto en un conjunto contable.

Dejemos que $\phi = \frac{1+\sqrt5}{2}$ y que $$f(x) = \begin{cases} 0 & \text{if }x = 0 \\ -\phi x & \text{if }|x| \in [\phi^{3k}, \phi^{3k+1}), k \in \mathbb Z \\ \phi x & \text{if } |x| \in [\phi^{3k+1}, \phi^{3k+2}), k \in \mathbb Z \\ \phi^{-2} x & \text{if } |x| \in [\phi^{3k+2}, \phi^{3k+3}), k \in \mathbb Z \\ \end{cases} $$

Entonces $f$ es una biyección, cuya inversa es $$f^{-1}(x) = \begin{cases} 0 & \text{if }x = 0 \\ \phi^2 x & \text{if }|x| \in [\phi^{3k}, \phi^{3k+1}), k \in \mathbb Z \\ -\phi^{-1} x & \text{if } |x| \in [\phi^{3k+1}, \phi^{3k+2}), k \in \mathbb Z \\ \phi^{-1} x & \text{if } |x| \in [\phi^{3k+2}, \phi^{3k+3}), k \in \mathbb Z \\ \end{cases} $$ La comprobación de cada caso muestra que $f(x)+f^{-1}(x) = x$ según sea necesario.

Answer 2

Conectando $x=f(y)$ obtenemos: $$ f(f(y))=f(y)-y $$ Llama a esta afirmación $P(y)$ y que $f^{(n)}(x)=\underbrace{f(f(…f(x)...))}_{n \space times}$ . Ahora tenemos: $$ P(f(x)): f^{(3)}(x)=f(f(x))-f(x)=f(x)-x-f(x)=-x \iff f^{(4)}(x)=f(-x) $$ Pero: $$ P\left(f(f(x))\right): f^{(4)}(x)=f^{(3)}(x)-f^{(2)}(x)=-x-(f(x)-x)=-f(x) $$ Combinando estas ecuaciones, obtenemos $f(-x)=-f(x)$ y por lo tanto, $f$ es impar.

Answer 3

Prueba de que la función es impar (si existe):

Supongamos que $f(b)=a$ . Ahora, considere $$f(b)+f^{-1}(b)=b.$$ Entonces, $f^{-1}(b)=b-a$ o que $f(b-a)=b$ . Ahora, considere $$f(b-a)+f^{-1}(b-a)=b-a.$$ Por sustitución, tenemos $b+f^{-1}(b-a)=b-a$ o que $f^{-1}(b-a)=-a$ . Por lo tanto, $f(-a)=b-a$ . Ahora, considere $$ f(-a)+f^{-1}(-a)=-a. $$ Por sustitución, $b-a+f^{-1}(-a)=-a$ o que $f^{-1}(-a)=-b$ . En otras palabras, $f(-b)=-a$ , por lo que la función es impar.

Answer 4

En primer lugar, como otros han señalado, debemos tener $f(0) = 0$ . Construyamos ahora una función de este tipo sobre $\mathbb R^{*}$ utilizando el Axioma de la Elección.

Utilizando $f(x) = x - f^{-1}(x)$ es fácil ver que, si $A \in \mathbb R^{*}$ es tal que $f(A) = B$ entonces debe producirse el siguiente ciclo: $$A \mapsto B \mapsto B - A \mapsto -A \mapsto -B\mapsto A-B \mapsto A$$ (Nótese que esto demuestra que la función es impar).

Por lo tanto, una idea para construir dicha función es, por ejemplo, establecer $B = -2A$ , por lo que tenemos el siguiente ciclo: $$A \mapsto -2A \mapsto -3A \mapsto -A \mapsto 2A \mapsto 3A \mapsto A$$

Si pudiéramos dividir $\mathbb R^{*}$ en conjuntos de la forma $\{-3A,-2A,-A,A,2A,3A\}$ podríamos definir fácilmente la función sobre cada uno de estos conjuntos utilizando el ciclo anterior.

Para ello, podemos utilizar el axioma de elección y tomar el cociente de $\mathbb R^{*}$ por la relación de equivalencia $$A \equiv B \Leftrightarrow \exists (p,q) \in \mathbb Z^2, A = \pm 2^p 3^q B$$

El axioma de la elección nos da un conjunto $X$ tal que $\mathbb R^{*} = \coprod_{A \in X} \bigcup_{(p,q)\in\mathbb Z^2}\{\pm2^p3^qA\}$ .

Entonces, para cada $A\in X$ podemos construir $f$ en $E_A = \bigcup_{(p,q)\in\mathbb Z^2}\{\pm2^p3^qA\}$ . De hecho, desde que $\mathbb Z^2$ es contable, podemos ordenarlo y utilizar la inducción para construir nuestros ciclos. Al considerar el $n$ -éste es el elemento de $\mathbb Z^2$ o bien no aparece en un ciclo formado por uno de los elementos anteriores de $\mathbb Z^2$ , en cuyo caso construimos $f$ en el ciclo formado por el elemento actual; o lo hace, en cuyo caso nos saltamos el elemento.

Es fácil comprobar que la función construida de esta manera tiene las propiedades requeridas.

Tenga en cuenta que no tengo ni idea de si podemos construir una función de este tipo sin utilizar el Axioma de elección, pero Lo dudo. .

Editar: Finalmente encontré una solución constructiva, ver mi otra respuesta. (Si es inapropiado hacer un doble post, fusionaré ambas respuestas).

Answer 5

Si $f$ fuera continua, entonces tendría que ser estrictamente monótona, ya que es biyectiva. Supongamos que $f$ está disminuyendo, $x>0$ . Entonces, como $f(0)=0$ obtenemos $f(x)<0$ y $f^{-1}(x)<0$ pero $x=f(x)+f^{-1}(x)$ . Así que $f$ está aumentando y $f(x)>0$ cuando $x>0$ . Pero entonces, $f^{-1}(x)$ también es positivo para $x>0$ Así que $f(x)<x$ . Desde $f$ está aumentando, $f^{-1}(x)>x$ . Pero eso no es posible.