Simplemente $ie^{it}(1+e^{-it})^n$

Question

Necesito ayuda para simplificar $$ie^{it}(1+e^{-it})^n$$ donde n es un entero, para poder integrarlo entre $0$ y $2\pi$

Intenté usar el Teorema de De Moivre pero el 1+ no me lo permitió

Answer 1

Alternativamente, expande $(1+e^{-it})^n$ utilizando el teorema del binomio e integra término por término. La mayoría de las integrales serán $0$.

Answer 2

$$ie^{it}\left(1+e^{it}\right)^n=ie^{it\left(1+\frac{n}2\right)}\left(e^{-\frac12it}+e^{\frac12it}\right)^n=ie^{it\left(1+\frac{n}2\right)}2^n\cos^n\left(\frac{t}2\right)$$