EDIT2: Después de leer algunos documentos, creo que la pregunta se puede reformular mejor como "¿Cómo se puede calcular el polinomio minimal de un polinomio con coeficientes algebraicos?. He visto documentos y libros que muestran que los números algebraicos están cerrados algebraicamente, pero no he visto una prueba constructiva.
Sean $f_n, f_{n-1}, ..., f_0$ polinomios univariados con coeficientes racionales. Para cada $f_i$, se asume que se ha aislado con éxito una raíz $\lambda_i$ a través del Teorema de Sturm como la única raíz dentro del rango $[\lambda_i^-,\lambda_i^+]$.
Se define $g$ como el polinomio univariado:
$$g(x) = \lambda_nx^n + \lambda_{n-1}x^{n-1} + ... + \lambda_0$$
¿Es posible aislar las raíces de $g$? ¿Específicamente, es posible determinar si $g$ tiene raíces repetidas?
Hice una pregunta algo similar aquí en la que cada $\lambda_i$ se representa como un intervalo cuyo tamaño puede reducirse arbitrariamente (pero no reducirse a un punto único). Alex Degtyarev señaló correctamente que el problema no se puede resolver si los valores de $\lambda_i$ no se conocen exactamente.
Sin embargo, en este caso, los valores se conocen exactamente. Desafortunadamente, no entiendo cómo los coeficientes racionales de los $f_i$ se pueden incorporar en un algoritmo para aislar las raíces de $g$.
Gracias por cualquier ayuda.
EDIT: Desde que publiqué la pregunta, he leído un poco sobre la Teoría de Galois, y parece que este problema se puede resolver, aunque todavía estoy tratando de descubrir exactamente cómo. He descubierto algoritmos para encontrar el polinomio minimal para sumas y productos de números algebraicos. Todavía no he encontrado un algoritmo para determinar el polinomio minimal de un polinomio con coeficientes algebraicos, aunque he encontrado una prueba de que dicho polinomio existe.
