Últimamente he estado trabajando en teoría de conjuntos, y me he estado preguntando: ¿Necesito demostrar todos los teoremas para el conjunto vacío? Por ejemplo; necesito demostrar que si $A\cap B=A$ entonces $A\subseteq B$. Se puede hacer diciendo que si $a\in A$ entonces $a\in A\cap B$, por lo tanto $a\in B$. De esta manera, $A\subseteq B$. ¿La suposición de que $a\in A$ invalida la prueba para el conjunto vacío? (Ya que el conjunto vacío no tiene elementos) Además, cuando digo que $a\in B$ estoy asumiendo que B tiene elementos. Sé que la prueba para $A=\emptyset$ o $B=\emptyset$ es trivial (si $A=\emptyset$, para cada conjunto B $A\cap B=A$ y $A\subseteq B$; si $B=\emptyset$ entonces A debe ser $\emptyset$ para que $A\cap B=A$, y obviamente $\emptyset \subseteq \emptyset$), pero no estoy seguro si debería mostrarlo en un examen.
Respuesta
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En el ejemplo que has mencionado, no es necesario considerar el caso $A=\emptyset$. Cuando escribes "si $x\in A$" no estás asumiendo que no está vacío. Es solo el comienzo de una secuencia de argumentos que demuestra que si $x\in A$, entonces $x\in B$. En otras palabras, estás demostrando que cada elemento de $A$ también es un elemento de $B$, y eso es lo que significa $A\subseteq B$.
