Pregunta 1. Para probar que $K$ es un octaedro regular, usaremos un cambio de coordenadas isométrico para expresar sus vértices como los del siguiente octaedro en $\mathbb{R}^3$ (cf. coordenadas cartesianas): $(\pm 1, 0, 0), (0, \pm 1, 0), (0, 0, \pm 1)$.
En la nueva base, los primeros tres vectores base son colineales a $a_1, a_2, a_3$, y el cuarto es ortogonal a todos ellos: $(1,1,1,1)$. Usando vectores unitarios, esto nos da la siguiente matriz ortogonal de cambio de base:
$$ \begin{pmatrix} -\frac 1 2 & \frac 1 2 & \frac 1 2 & -\frac 1 2 \\ \frac 1 2 & -\frac 1 2 & \frac 1 2 & -\frac 1 2 \\ \frac 1 2 & \frac 1 2 & -\frac 1 2 & -\frac 1 2 \\ \frac 1 2 & \frac 1 2 & \frac 1 2 & \frac 1 2 \end{pmatrix} $$
Multiplicando esta matriz por $a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3$, obtenemos: $(2,0,0,0), (0,2,0,0), (0,0,2,0), (-2,0,0,0), (0,-2,0,0), (0,0,-2,0)$
que es el octaedro mencionado anteriormente, escalado por una homotecia de $2$.
Pregunta 2. $B_{\infty}^4 \cap H$ es la intersección de un hiper-cubo completo con un hiperplano. Es la envoltura convexa de la intersección de $H$ con las aristas del hiper-cubo $[-1,1]^4$.
Esas aristas se obtienen teniendo tres coordenadas con un valor de $1$ o $-1$, y la cuarta en $[-1,1]$. Hay un total de $32$ aristas.
Como todas las coordenadas son enteras excepto una, la ecuación $x_1+x_2+x_3+x_4=0$ impone que las cuatro coordenadas sean enteras. Por lo tanto, las intersecciones son vértices del hiper-cubo.
Esto nos deja con verificar qué vértices del hiper-cubo están en $H$. Estos son los cuartetos de $1$ y $-1$ cuya suma es $0$. Esto impone tener dos $1$ y dos $-1$, por lo que hay ${4 \choose 2} = 6$ de ellos, que son los $a_i$ y $b_i$.
Pregunta 3. Usando el mismo proceso en dimensión 3, queremos las intersecciones del cubo $[-1,1]^3$ con el plano $x_1+x_2+x_3=0$. Las aristas son $(1,1,[-1,1]), (1,-1,[-1,1]), \dots, (1, [-1,1], 1), \dots, ([-1,1],-1,-1)$.
Para que la suma de las coordenadas sea nula, necesitamos un $1$, un $-1$, y un $0$ en $[-1,1]$.
Esto nos deja con los siguientes vértices:
$(1,-1,0), (-1,1,0), (1,0,-1), (-1,0,1), (0,1,-1), (0,-1,1)$.
Como en la pregunta 1, cambiamos coordenadas, con dos vectores dentro del plano $x_1+x_2+x_3=0$, y el tercero ortogonal a este plano. Esto nos da por ejemplo la siguiente matriz ortogonal:
$$ \begin{pmatrix} \frac 1 {\sqrt 6} & \frac 1 {\sqrt 6} & -\frac 2 {\sqrt 6} \\ \frac 1 {\sqrt 2} & -\frac 1 {\sqrt 2} & 0 \\ \frac 1 {\sqrt 3} & \frac 1 {\sqrt 3} & \frac 1 {\sqrt 3} \end{pmatrix} $$
Aplicando esta matriz a los vértices anteriores, obtenemos:
$(\sqrt 2, 0, 0), (-\sqrt 2, 0, 0), (\frac {\sqrt 3} {\sqrt 2}, \frac 1 {\sqrt 2}, 0), (-\frac {\sqrt 3} {\sqrt 2}, -\frac 1 {\sqrt 2}, 0), (\frac {\sqrt 3} {\sqrt 2}, -\frac 1 {\sqrt 2}, 0), (-\frac {\sqrt 3} {\sqrt 2}, \frac 1 {\sqrt 2}, 0)$
Dividiendo por $\sqrt 2$, tenemos:
$(1, 0, 0), (-1, 0, 0), (\frac {\sqrt 3} 2, \frac 1 2, 0), (-\frac {\sqrt 3} 2, -\frac 1 2, 0), (\frac {\sqrt 3} 2, -\frac 1 2, 0), (-\frac {\sqrt 3} 2, \frac 1 2, 0)$
donde reconocemos el hexágono regular, siendo $\frac {\sqrt 3} 2$ igual a $\sin(\frac {\pi} 3)$ y $\frac 1 2$ igual a $\cos (\frac {\pi} 3)$.
