Subdiferencial - ¿definiciones equivalentes?

Question

He estado leyendo un artículo sobre los valores críticos de Clarke de funciones Lipschitz subanalíticas. Allí me encontré con la(s) siguiente(s) definición(es) de subdiferencial:

$$ f: U \to \mathbb{R}^n, \ \ \ \ \emptyset \neq U \subset \mathbb{R}^n $$

$f$ es localmente continuo de Lipschitz

Sea $$x \in U:$$ El subdiferencial de Frechet:

$$ \hat{\partial} f(x) = \left\{x^* \in \mathbb{R}^n \ : \ \liminf_{y \to x, y \neq x} \frac{f(y) - f(x) - \langle x^*, y-x \rangle}{||y - x||} \ge 0 \right\}$$

$$x^* \in \partial f \iff \exists x_n \in U, \exists x_n^* \in \hat{\partial} f(x_n) : x_n \to x, x_n ^* \to x^*, \ \ n \to \infty $$

y finalmente,

$$\partial^o f(x) = \overline{\rm conv}\partial f(x)$$

es llamado el subdiferencial de Clarke de $f$ en $x$.

Mi pregunta es - ¿es $\partial^o f(x)$ el mismo conjunto que este definido en el papel de Clarke como subdiferencial de $f$ en $x$?

$$S_1 = \{ s \in \mathbb{R}^n \ : \ \langle v, s \rangle \le f(x+v) - f(x) \ \forall v \in \mathbb{R}^n \}$$

Sé que para funciones convexas, el conjunto anterior es igual a:

$$ S_2 = \{s\in \mathbb{R}^n \ : \ \langle s, d \rangle \le f'(x, d) \ \forall d \in \mathbb{R}^n \} $$

Aquí $$ f'(x, d) = \lim_{t \to 0} \frac{f(x + td) - f(x)}{t}$$

Supongo que también sería útil tener en cuenta que $S_1, S_2$ son cerrados y convexos.

¿Podrías ayudarme a encontrar un vínculo entre $S_1$ y $ \partial^of(x)?$

Answer 1

Ok, creo que necesitas que esta pregunta sea más clara. Por ejemplo, no entiendo la razón por la que has incluido el subdiferencial de Frechet. No parece estar relacionado con tu pregunta. $S_1$ parece ser la definición clásica del subdiferencial.

Échale un vistazo a Análisis Convexo y Teoría de Operadores Monótonos en Espacios de Hilbert de Combettes y Bauschke. El Capítulo 16 tiene la definición de subdiferencial $S_1$. La Proposición 16.3 establece que para una función apropiada $f$, el subdiferencial en $x$ en el dominio de $f$ es cerrado y convexo, y por lo tanto $\partial f(x) = \overline{\text{conv}}\partial f(x)$.

Después de que aclares, editaré mi respuesta. Pero noto lo siguiente:

1. La definición de subdiferencial de Clark no coincide con la definición de subdiferencial. Por ejemplo, una función diferenciable en $\mathbb{R}^n$ tiene un subdiferencial de Clark que es igual a su derivada (se puede comprobar fácilmente con el teorema de Taylor. Este límite será de hecho solo $0$ en todos los casos). Sin embargo, toma la función $f(x)=-x^2$: Tiene un subdiferencial vacío en todas partes, pero tiene un subdiferencial de Clark en todas partes (igual a su derivada).

2. La definición alternativa de subdiferencial que está en la serie de ecuaciones justo debajo de la definición de subdiferencial no tiene sentido. ¿Qué es $U$? ¿Por qué no puedes simplemente establecer toda la secuencia $x_n=x$? Tal como está escrito (lo cual asumo que está mal) esta definición es simplemente el cierre del subdiferencial.

EDITAR: Ahora las cosas están claras, y entiendo lo que estás preguntando.

Sea $\partial f$ el subdiferencial, sea $\hat{\partial} f$ el subdiferencial de Frechet, sea $\partial^\lim f$ el subdiferencial límite, y sea $\partial^o f$ el subdiferencial de Clark. Justo antes de las palabras "y finalmente" (segunda línea de la serie de ecuaciones) has definido en realidad el subdiferencial límite. Así que estoy usando una notación diferente a la tuya: estoy usando $\partial^\lim$ en lugar de $\partial f$. Entonces mi $\partial f$ coincide con $S+1$.

Por lo tanto, observo lo siguiente:

$$ \partial f \subsetneq \hat{\partial} f \subsetneq \partial^\lim f \subsetneq \partial^o f$$

Esto debería ser obvio (aparte de los contraejemplos de no igualdad).

1. $\partial f \subset \hat{\partial} f$ ¡porque el denominador en la fracción siempre será positivo para los elementos del subdiferencial!
2. $\hat{\partial} f \subset \partial^\lim f$ porque simplemente puedes establecer toda la secuencia en el mismo elemento: $x_n=x$ y $x^*_n=x^*$. El subdiferencial límite es simplemente el cierre del gráfico del subdiferencial.
3. $\partial^\lim f \subsetneq \partial^o f$ porque estamos tomando cerraduras/ envolturas convexas.

Estos no son iguales en general, de hecho pueden ser todos diferentes en un solo ejemplo. Sea

$$ f(x) = \begin{cases}x, &x\leq 0 \\ 0, & x>0 \end{cases}$$

Entonces tenemos lo siguiente:

$$ \partial f(x) = \begin{cases}\emptyset, &x < 0 \\ \emptyset, & x=0 \\ \emptyset, & x>0 \end{cases}\\ \hat{\partial} f(x) = \begin{cases}1, &x < 0 \\ \emptyset, & x=0 \\ 0, & x>0 \end{cases}\\ \partial^\lim f(x) = \begin{cases}1, &x < 0 \\ \{0,1 \}, & x=0 \\ 0, & x>0 \end{cases}\\ \partial^o f(x) = \begin{cases}1, &x < 0 \\ [0,1], & x=0 \\ 0, & x>0 \end{cases}\\$$

Creo que esto es correcto. Alguien dígame si cometí un error.