Fibras en geometría algebraica: multiplicidad

Question

Actualmente estoy estudiando variedades sobre $\mathbb{C}$ y conozco algo de teoría de esquemas.

Mi profesor mencionó el otro día que dado un morfismo de variedades sobre un campo cerrado alg. $k$ : $f: X \rightarrow Y$ , hay que contar las fibras "con multiplicidad". He tratado de encontrarle sentido a esto. Para mí es especialmente importante si $Y$ es una curva y las fibras son divisores de $X$ .

Así que busqué en Hartshorne, desempolvé mis conocimientos sobre esquemas y redescubrí la fibra teórica del esquema $X_y := X \times_Y \text{Spec}(k(y))$ para algunos $y \in Y$ . He elaborado un ejemplo: $f: \mathbb{A}^2 \rightarrow \mathbb{A}^2$ , $(a,b) \mapsto (a^2,b)$ . Un cálculo muestra que la fibra sobre un punto $(p,q)$ es el espectro de $k[x,y]/(x^2-p,y-q) \cong k[x]/(x^2-p)$ que se reduce y consta de dos puntos diferentes si $p \neq 0$ y un esquema de un punto no reducido si $p=0$ .

De manera muy similar $g: \mathbb{A}^1 \rightarrow \mathbb{A}^1$ , $a \mapsto a^2$ entonces la fibra es el espectro de $k[x]/(x^2-p)$ . Menciono estos dos ejemplos ya que en un caso, los puntos y las fibras son divisores, en el otro no.

Todo esto no es ningún problema, sin embargo estoy tratando de traducir esto a las variedades, tratando de dar sentido a lo que debería significar "contar con multiplicidades".

Ahora las preguntas.

• ¿Cómo se traduce esto al lenguaje de las variedades? De lo anterior parece evidente que la fibra de $(0,q)$ debe ser $2(0,q)$ ya que esta "duplicación" está oculta en la gavilla de la estructura. Esto sería especialmente importante si los puntos fueran divisores, ya que entonces 2 veces un punto tiene mucho sentido. Pero, ¿cómo hacer esto matemáticamente preciso? Es decir, ¿cuál es el procedimiento matemático real? Supongo que si podemos factorizar el ideal por el que estamos modificando en ideales primos, podemos contar los factores primos (es decir, las variedades) con multiplicidad, PERO: ¿es siempre posible esta factorización? ¿Y es el método correcto?

• Hice un curso sobre superficies de Riemann, allí también se definía la multiplicidad: un mapa holomorfo es localmente en un punto siempre de la forma $z \mapsto z^n$ entonces $n$ es la multiplicidad del mapa en ese punto. Estoy bastante seguro de que las definiciones coinciden, por supuesto asumiendo $k=\mathbb{C}$ y que las variedades sean suaves. ¿Puede alguien dar un argumento de por qué?

Una respuesta ideal podría incluir una referencia a los dos ejemplos, señalar las diferencias si las hay (procedentes del hecho de que las fibras son/no son divisores) y un método general para escribir una fibra en el lenguaje de las variedades. Si esto sólo es posible en el caso de que las fibras sean divisores, seguiría siendo muy feliz.

¡Muchas gracias!

Editar: Muchas gracias por vuestras respuestas, Andrew y Froggie. Me queda una pequeña duda. Debería motivar mi pregunta: en algún lugar de Beauville hay un mapa $f: S \rightarrow C$ donde $C$ es una curva, entonces la imagen inversa de un punto resulta ser el divisor $nE$ , donde $E$ es una curva en $S$ y $n>1$ . Por eso esperaba que al menos hubiera una noción de "multiplicidad" en el lenguaje de las variedades si las fibras fueran divisores. Pero como me doy cuenta ahora, también existe la noción de $f^*: \text{Div}(C) \rightarrow \text{Div}(S)$ que es probablemente lo que utilizó Beauville (no lo he comprobado). Así que nueva pregunta: ¿es esto $n$ siempre de acuerdo con la multiplicidad que definió Froggie? ¿Hay alguna otra forma de relacionar la multiplicidad teórica del esquema y la multiplicidad de los divisores?

Answer 1

No soy realmente un geómetra algebraico, así que en mi respuesta me ceñiré a la situación simple en la que $f\colon X\to Y$ es un morfismo suryectivo finito entre variedades lisas irreducibles sobre $k$ . Sus dos ejemplos entran en esta categoría.

Si $x\in X$ es un punto (no necesariamente cerrado) y $y = f(x)$ entonces la multiplicidad que probablemente esté buscando es el número entero que denotaré por $m_f(x)$ que es $$m_f(x):= \dim_{\kappa(y)}\mathcal{O}_{X,x}/\mathfrak{m}_y\mathcal{O}_{X,x} = \dim_{\kappa(y)}\mathcal{O}_{X,x}\otimes_{\mathcal{O}_{Y,y}}\kappa(y),$$ donde aquí se utiliza $f$ para hacer $\mathcal{O}_{X,x}$ en un $\mathcal{O}_{Y,y}$ -módulo.

Otra forma de calcular este número entero es la siguiente. El espacio $X_y$ que definiste anteriormente es un esquema, y sus puntos genéricos corresponden a las preimágenes de $y$ . Si $x$ es un punto genérico de $X_y$ entonces $\mathcal{O}_{X_y,x}$ es un anillo artiniano, y se puede tomar su longitud, que denotaré $v_f(x):= length\,\mathcal{O}_{X_y,x}$ . Entonces se puede derivar $m_f(x) = v_f(x)\times [\kappa(x):\kappa(y)]$ . En ambos ejemplos, $x$ y $y$ eran puntos cerrados, por lo que $\kappa(x) = \kappa(y) = k$ y el factor $[\kappa(x):\kappa(y)]$ es $1$ . Así, $m_f(x) = v_f(x)$ .

Apliquemos estas definiciones a sus ejemplos.

(1) $f(a,b) = (a^2,b)$ . Sea $x = (p,q)$ y $y = (p^2,q) = f(x)$ . Entonces $\mathcal{O}_{X,x} = k[u,v]_{(u-p,v-q)}$ y $\mathfrak{m}_y\mathcal{O}_{X,x} = (u^2-p^2,v-q)\subset k[u,v]_{(u-p,v-q)}$ . Si $p\neq 0$ entonces $$\mathcal{O}_{X,x}/\mathfrak{m}_y\mathcal{O}_{X,x}\cong k[u,v]_{(u-p,v-q)}/(u^2-p^2,v-q) = k,$$ que tiene dimensión 1. Si $p = 0$ entonces $$\mathcal{O}_{X,x}/\mathfrak{m}_y\mathcal{O}_{X,x}\cong k[u,v]_{(u,v-q)}/(u^2,v-q) = k[u]/(u^2),$$ que tiene dimensión 2. Así, $m_f(x) = 1$ si $p\neq 0$ y $m_f(x) = 2$ si $p = 0$ .

Para calcular esta multiplicidad a la inversa, partimos de su observación de que $X_y$ tiene dos componentes siempre que $p\neq 0$ y $1$ (un punto doble) si $p = 0$ . En el primer caso, $\mathcal{O}_{X_y,x}\cong k[t]/(t\pm p)$ para una preimagen $x$ de $y$ que tiene una longitud $1$ Así que $v_f(x) = m_f(x) = 1$ . Si $p = 0$ Sin embargo, entonces $\mathcal{O}_{X_y,x}\cong k[t]/(t^2)$ que tiene una longitud $2$ . Así, $v_f(x) = m_f(x) = 2$ .

Su segundo ejemplo se resuelve de forma similar. El hecho de que $x$ y $y$ son o no son divisores no hace ninguna diferencia real.

Se puede demostrar que en la situación específica que estoy considerando (morfismo finito entre variedades lisas), todo punto (no necesariamente cerrado) $y\in Y$ tiene el mismo número de preimágenes cuando se cuenta con la multiplicidad $m_f$ y ese número entero es el grado $d$ del mapa $f$ . Un esbozo de la prueba de este hecho es el siguiente: Los morfismos finitos entre variedades lisas irreducibles sobre cualquier campo algebraicamente cerrado son planos, y por tanto $f_*\mathcal{O}_X$ es un lugar libre $\mathcal{O}_Y$ -de rango $d$ . La fibra de $f_*\mathcal{O}_X$ en $y\in Y$ es exactamente $\bigoplus_{f(x) = y} \mathcal{O}_{X,x}/\mathfrak{m}_y\mathcal{O}_{X,x}$ para que $$d = \sum_{f(x) = y} \dim\mathcal{O}_{X,x}/\mathfrak{m}_y\mathcal{O}_{X,x} = \sum_{f(x) = y} m_f(x).$$

Editar: Multiplicidades al retirar los divisores. Sea $f\colon X\to Y$ sea un morfismo (suryente) entre variedades lisas irreducibles. Sea $D$ sea un divisor primo en $Y$ y que $f^{-1}(D)$ tienen una descomposición irreducible $D_1\cup\cdots\cup D_n$ . Sea $x\in X$ sea un punto general de $D_i$ y $y = f(x)$ . Desde $Y$ es suave, $D$ tiene una ecuación local de definición en $y$ Es decir, $D = \{\varphi = 0\}$ para alguna función irreducible $\varphi\in \mathcal{O}_{Y,y}$ . Este $\varphi$ se remonta a una función $\varphi\circ f\in \mathcal{O}_{X,x}$ que definirá $D_i$ cerca de $x$ . Sin embargo, $\varphi\circ f$ no será necesariamente irreducible, podría ser $\varphi\circ f = \psi^{n_i}$ , donde $\psi$ es una ecuación de definición local irreducible para $D_i$ en $x$ . Este número entero $n_i$ debe ser la multiplicidad de $D_i$ cuando se retiran los divisores --- no depende de la elección de $x$ , tan larga en $x$ es elegido genérico. Creo que $f^*D = \sum_i n_iD_i$ es como se retiraría $D$ . Por supuesto, puede ampliar $f^*$ linealmente a todos los divisores $D$ no sólo los divisores primos.

Cuando $f\colon X\to Y$ es finito suryente como habíamos considerado antes, los enteros $n_i$ no serán las multiplicidades $m_f$ pero deberían ser las multiplicidades $v_f$ . Es decir, si $D$ es un divisor primo de $Y$ con el punto genérico $y$ entonces $f^{-1}(y) = \{x_1,\ldots, x_n\}$ consiste en los puntos genéricos de los componentes $D_1,\ldots, D_n$ de $f^{-1}(D)$ y $n_i = v_f(x_i)$ . Por supuesto, si ambos $X$ y $Y$ son curvas, entonces los divisores son puntos cerrados, y $m_f = v_f$ en puntos cerrados, por lo que en el caso especial de las curvas el $n_i$ debe ser dada por $m_f$ .

Answer 2

Bueno, en el primer caso, creo que la respuesta es sencilla: ¡Felicidades! Has descubierto una de las razones fundamentales para trabajar con esquemas, en lugar de simplemente con variedades. Los puntos y espacios no reducidos desempeñan un papel fundamental en muchas partes de la geometría algebraica, por ejemplo, la teoría de la deformación y la teoría de la singularidad, por nombrar un par de ellas, y son una de las principales razones del cambio sustancial del lenguaje y la técnica a la Grothendieck y compañía. En la categoría de variedades, la preimagen de $(0,q)$ en tu primer ejemplo realmente es sólo $(0,q)$ y de alguna manera hemos perdido la información de la multiplicidad presente en otras fibras cercanas.

En tu segunda pregunta, tienes razón en que las definiciones coinciden. Recuerda que el mapa $z\mapsto z^n, \mathbb A^1_{\mathbb C}\to\mathbb A^1_{\mathbb C},$ que mencionas en tu segundo ejemplo, es regular (es decir, algebraico). Podemos calcular las fibras de este mapa exactamente como has hecho en tus ejemplos, para encontrar que $z\neq 0$ tiene una fibra con $n$ puntos distintos puntos cerrados, mientras que sobre $z=0$ todos los puntos colapsan en un único punto no reducido (la fibra teórica del esquema sigue la pista de la ramificación).

No creo que el hecho de que en uno de los ejemplos las fibras puedan ser consideradas como divisores sea realmente importante. Después de todo, podríamos considerar los subespacios codimensionales superiores como objetos abstractos en un anillo de Chow, o algo así. En realidad, sólo queremos llevar la cuenta de la multiplicidad, lo que puede hacerse a través de la estructura del esquema.

Siempre he pensado ingenuamente sobre las fibras en la categoría de variedades, así que no tengo una gran respuesta re. computar las fibras específicamente en esta categoría. Imagino que poner la estructura de subesquema cerrado inducido reducido en la fibra computada en la categoría de esquemas funcionaría en muchos casos.