Productos de números primos relativos con la suma mínima

Question

Sea $P(n)$ el conjunto de subconjuntos $P$ de $\mathbb{N}$ con las siguientes propiedades

1. Todos los elementos de $P$ son primos relativos entre sí.
2. El producto de todos los $k \in P$ es mayor o igual a $n$.

Ahora, sea $f(n) = \min_{P \in P(n)} \sum_{k \in P} k$.

¿Qué se puede decir sobre el tamaño de $f(n)$ (en relación a $n$)?

Una forma directa de construir límites superiores sería mirar alguna raíz $i$-ésima de $n$ y elegir $i$ números primos relativos "cercanos" a ella. Pero me pregunto si hay algún teorema general que dé límites precisos para este problema.

Por cierto: uso $f(n)$ para describir el tamaño de un programa de enteros mixtos especial.

Answer 1

Ten en cuenta que el producto prod P (acotado por debajo por n) representa el orden de una permutación con estructura de ciclo dada por P y sentado en S_m, donde m=f(n). Por lo tanto, considerando el mayor orden de elementos que aparecen en grupos simétricos finitos debería darte una buena idea de la tasa de crecimiento de f(n). Ben Barber ha dado lo que parece ser un buen orden de crecimiento en un comentario, y puedes encontrar literatura sobre el problema del orden máximo para confirmar/refinar esta estimación.