¿Qué hay de malo en esta imagen? Círculos imposibles.

Question

El diagrama planar muestra los puntos $A, B, C, D$ (no tienen que ser los vértices de algún tipo particular de cuadrilátero) y cuatro círculos: $\text{C}_{AB}$ con diámetro $AB$, $\text{C}_{BC}$ con diámetro $BC$, $\text{C}_{CD}$ con diámetro $CD$ y $\text{C}_{DA}$ con diámetro $DA$.

$\text{C}_{AB}$ y $\text{C}_{CD}$ son disjuntos (sin puntos en común; ninguno está dentro del otro).
$\text{C}_{BC}$ y $\text{C}_{DA}$ son disjuntos.

¿Es esto posible?

No creo que sea posible. De hecho, el diagrama muestra cuatro elipses. Cuando dibujo cuatro círculos, no puedo hacer que los pares de círculos sean disjuntos. Pero no sé cómo probar que esto es imposible. He estado tratando con la prueba por contradicción, pero la contradicción se me escapa.

Contexto: He estado intentando resolver otra pregunta, y mis esfuerzos me llevaron a esta pregunta.

Answer 1

Supongamos que $P$ es un punto en la pequeña área en el medio del dibujo. Entonces $P$ está afuera de los círculos, por lo tanto $\angle BPA < 90^\circ$, $\angle CPB < 90^\circ$, $\angle DPC < 90^\circ$, y $\angle APD < 90^\circ$. Sumando obtenemos $\angle BPA + \angle CPB + \angle DPC + \angle APD < 360^\circ$. Por otro lado, nota que los ángulos $BPA, CPB, DPC, APD$ suman un ángulo completo, por lo tanto $\angle BPA + \angle CPB + \angle DPC + \angle APD = 360^\circ$, lo cual da una contradicción.

Answer 2

Si $C_{AB}\cap C_{CD}=\emptyset$ entonces el radio de $C_{BC}$ es mayor que la suma de los radios de $C_{AB}$ y $C_{CD}$ y, dado que $\overline{BC}$ es el diámetro de $C_{BC}$, el centro de esta circunferencia está situado en la vertical $BC$. Por lo tanto, es muy claro que $C_{BC}\cap C_{AD}$ no puede estar vacío.

Answer 3

Imposible. (¡Maldición, me cortó con este tema de frikis^^).

Imagina un cuadrado con los puntos A, B, C, D como sus esquinas. Cuando los diámetros de cada círculo deben ser iguales a una línea del cuadrado, el centro de cada círculo debe estar en la línea del cuadrado.

Por lo tanto, los radios de los círculos se encontrarían en el centro de la imagen.

En realidad, puedes ver con tus propios ojos que la línea A-B no pasa por el centro del círculo, por lo tanto no es el diámetro.

Answer 4

Similar a la respuesta de Valentin Seehausen, considera un cuadrado ABCD. Como cada círculo tiene un radio igual a la mitad de la longitud de cada lado de este cuadrado, todos los círculos compartirán un punto en el centro de este cuadrado. Si uno de los lados se acorta de este estado, los círculos adyacentes a ese lado (para AB serían $\text{C}_{BC}$ y $\text{C}_{AD}$) se superpondrán necesariamente porque sus centros se acercan sin que sus radios disminuyan. Sus radios no pueden disminuir porque eso requeriría que los extremos de sus diámetros estén más cerca.

El mismo principio se aplica al acortar ambos lados opuestos: el punto medio de ese lado, y por lo tanto el centro de ese círculo, se mueve más cerca del centro del círculo opuesto sin que los extremos de ese lado se acerquen, y por lo tanto sin que el radio disminuya.

Esto prueba que el escenario es imposible para cualquier disposición de A, B, C, D que los tenga como los vértices de un cuadrilátero con al menos un par de lados paralelos que son más cortos o congruentes con la línea segmento más corta posible que conecta las líneas en las que se encuentran esos lados. En este momento, no puedo avanzar con esta demostración. A menos que alguien me gane, pronto la completaré.