¿Es la función indicadora de los números racionales integrable?

Question

Quiero preguntar si la función indicadora de los números racionales es Riemann-integrable, porque leí que una función es Riemann-integrable si el conjunto de discontinuidades es a lo sumo de medida de Lebesgue $0$ en un conjunto compacto, Y $\mathbb{Q}$ tiene medida de Lebesgue cero. Sin embargo, también he leído argumentos sobre la no integrabilidad usando sumas de Darboux, así que no está claro para mí si es integrable o no.

Gracias.

Answer 1

Esta función no es continua en ningún punto, no solo en los racionales. Llamemos a la función $D$. Dado cualquier $x\in\mathbb{R}$ puedes elegir una secuencia $x_n$ de números racionales y una secuencia $y_n$ de números irracionales en tu intervalo tal que ambos converjan a $x$. Sin embargo, $D(x_n)\to 1$ y $D(y_n)\to 0$, por lo que $D$ no es continua en el punto $x$. Entonces el conjunto de discontinuidades de $D$ en un intervalo $[a,b]$ tiene medida completa $b-a$, y por lo tanto $D$ no es Riemann integrable. Así que no hay contradicciones aquí.

Dicho esto, esta función es integrable en el sentido de Lebesgue. (Incluso es una función simple)

Answer 2

Sí, los racionales tienen medida $0$, pero la función indicadora de los racionales en realidad es discontinua en todas partes.