Encuentra un difeomorfismo $C^\infty$ de $\mathbb{R}^2$ sobre $U$.

Question

Sea $U = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 < 1\}$. Encuentra un difeomorfismo $C^\infty$ de $\mathbb{R}^2$ sobre $U$.

Por lo tanto, necesito encontrar alguna $f:\mathbb{R}^2\rightarrow U$ tal que $f$ sea $C^\infty$ y también lo sea $f^{-1}$. Estoy intentando pensar en funciones trigonométricas. Entonces, mi idea es que $f(\frac{2}{\pi}sin(x)arctan(y),\frac{2}{\pi}cos(x)arctan(y))$ funcionaría, pero no creo que pueda encontrar una inversa para tal función. ¿Funciona este ejemplo? y si no, ¿cómo puedo encontrar tal difeomorfismo?

Answer 1

$$f(v) = \frac{v}{1+\|v\|}$$ funciona en la dirección que deseas. Para encontrar la inversa, nota que $f(v)$ y $v$ son paralelos, y examina la expresión de $\|f(v)\|$ en términos de $\|v|$.