Parcialidad y sesgado asintóticamente

Question

Tengo el siguiente problema:

Basado en una muestra aleatoria $\{X_1,X_2,...,X_n\}$ de tamaño $n$, dos estadísticos no están de acuerdo en qué estimador usar para estimar la media de la población $\mu$ (donde $\mu>0$), de una distribución de población con varianza $\sigma^2$. Los dos estimadores propuestos son:

$$\hat{\mu}_1=\overline{X} \text{ y } \hat{\mu}_2=\frac{1}{n+c}\sum^n_{i=1}X_i$$

donde $c$ es algún entero. Uno de los dos estadísticos argumenta que $\hat{\mu_2}$ tiene una varianza más pequeña que la media de la muestra y, para una elección adecuada de $c$, es mejor en términos de error cuadrático medio.

(a) Las propiedades estadísticas de $\hat{\mu}_1=\overline{X}$ son bien conocidas. Para $\hat{\mu}_2$ verifica si el estimador es:

i) insesgado (si no, determina el sesgo)

ii) asintóticamente insesgado

Mi intento:

i) Tenemos que el Sesgo es igual a $E(\hat{\mu_2})-\mu$

Entonces, $E(\hat{\mu_2})=E\left(\frac{1}{n+c}\sum^n_{i=1}X_i\right)=\frac{1}{n+c}\sum^n_{i=1}E(X_i)=\frac{n\mu}{n+c}$

El sesgo es:

$\frac{n \mu}{n+c}-\mu=\frac{n \mu -(n+c)\mu}{n+c}=\frac{\mu(n-n-c)}{n+c}=\frac{-c\mu}{n+c}<0$ Por lo tanto, el sesgo es negativo.

(ii) Tenemos que $\hat{\mu_2}$ es asintóticamente insesgado si el Sesgo $\to 0$ cuando $n \to \infty$. En nuestro caso esto es verdadero, por lo tanto es asintóticamente insesgado.

¿Es esto correcto?

Answer 1

(ii) Tenemos que $\hat{\mu}_2$ es asintóticamente sesgado si el sesgo $\rightarrow 0$ cuando $n\to\infty$. En nuestro caso esto es cierto, por lo tanto es asintóticamente sesgado.

Creo que es un error tipográfico porque, como dijiste correctamente, si el sesgo tiende a cero, el estimador está sesgado pero asintóticamente insesgado

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No es necesario calcular el sesgo... simplemente usando la esperanza del estimador se obtiene que

$$\mathbb{E}[\hat{\mu}_2]=\frac{n}{n+c}\mu$$

se ve que está sesgado pero

$$\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb{E}[\hat{\mu}_2]=\mu$$

por lo tanto es asintóticamente insesgado