Aunque los siguientes comentarios no responden directamente a tu pregunta, quizás te sean de ayuda.
Un campo $F$ se dice que es algebraicamente cerrado si todas las raíces de un polinomio con coeficientes en $F$ están en $F$. Con esta terminología, el teorema fundamental del álgebra establece que $\mathbb{C}$, el campo de los números complejos, es algebraicamente cerrado.
Vale la pena señalar que construir algún campo algebraicamente cerrado no es algo tan difícil de hacer. Digamos que comenzamos con $\mathbb{Q}$, el campo de los números racionales, y queremos expandir $\mathbb{Q}$ a un campo algebraicamente cerrado. Conceptualmente, lo más fácil que podríamos intentar es comenzar tomando todas las raíces de todos los polinomios con coeficientes en $\mathbb{Q}$ (este es el conjunto de todos los números algebraicos, denotado por $\overline{\mathbb{Q}}$), y añadiéndolos a $\mathbb{Q}$. Cualquier campo algebraicamente cerrado que contenga a $\mathbb{Q}$ seguramente, como mínimo, debe contener todos los números algebraicos. Luego, podría parecer que tenemos que iterar, y añadir todas las raíces de los polinomios con coeficientes en $\overline{\mathbb{Q}}$. Sin embargo, hay dos hechos muy agradables:
Hecho 1. $\overline{\mathbb{Q}}$ es un campo.
Hecho 2. La raíz de un polinomio con coeficientes en $\overline{\mathbb{Q}}$ ya está en $\overline{\mathbb{Q}}$.
Así que no necesitamos iterar después de todo; obtenemos nuestro campo algebraicamente cerrado después de solo un paso de "añadir manualmente todas las raíces".
Resulta ser mucho más fácil demostrar el Hecho 1 y el Hecho 2 que demostrar el Teorema Fundamental del Álgebra; consulta esta pregunta por ejemplo. Así que si buscas un teorema más fácil de demostrar como un "paso intermedio" en el camino hacia el teorema fundamental del álgebra, podrías comenzar intentando entender las demostraciones del Hecho 1 y el Hecho 2.
Como siguiente paso, resulta que los argumentos utilizados para demostrar el Hecho 1 y el Hecho 2 se pueden adaptar de manera bastante sencilla (si conoces un poco de teoría de conjuntos y utilizas el axioma de elección) para expandir cualquier campo $F$ a un campo más grande $\overline{F}$ que sea algebraicamente cerrado. En particular, podemos tomar $F = \mathbb{R}$, el campo de los números reales, y expandir $\mathbb{R}$ a un campo más grande $\overline{\mathbb{R}}$ que sea algebraicamente cerrado. Este resultado nos acerca bastante al teorema fundamental del álgebra, y solo hemos utilizado argumentos bastante sencillos.
Sin embargo, "bastante cerca" no es suficiente. Lo sorprendente del teorema fundamental del álgebra es que para obtener $\overline{\mathbb{R}}$ (que en realidad es igual a $\mathbb{C}$), todo lo que necesitas añadir a $\mathbb{R}$ son las raíces de la ecuación $x^2+1=0$, y ya está. No es necesario "añadir manualmente" todas las raíces de todos los polinomios con coeficientes reales; esta única ecuación hace el trabajo. Este hecho notable no es cierto para cualquier campo $F$ cualquiera; es una propiedad especial de $\mathbb{R}$ que comparten muy pocos otros campos (principalmente, los llamados campos reales cerrados). Esto explica por qué la demostración del teorema fundamental del álgebra es sutil y complicada; de alguna manera debe utilizar propiedades especiales de $\mathbb{R}$ que no poseen otros campos como $\mathbb{Q}$.
ANEXO: Como Will Jagy insinuó en un comentario, es posible identificar exactamente qué es lo especial acerca de $\mathbb{R}$ en este contexto. Resulta que, aunque no es fácil de demostrar, si $F$ es un campo en el cual cada polinomio cuyo grado es un número primo tiene una raíz, entonces $F$ es algebraicamente cerrado (Shipman, Mejorando el Teorema Fundamental del Álgebra). En el caso de $\mathbb{R}$, es fácil demostrar que cada polinomio (mónico) $f$ de grado impar tiene una raíz. Si $x$ es un número positivo lo suficientemente grande, entonces $f(x)>0$ y $f(-x)<0$, por lo que el teorema del valor intermedio (que, por cierto, es en gran parte la motivación para la definición de los números reales—queremos "llenar todos los espacios" entre los números racionales) implica que $f$ debe tener al menos una raíz en algún lugar entre $-x$ y $x$. Por lo tanto, el único primo "faltante" es 2. Esta es una explicación parcial (aunque no una demostración completa) de por qué todo lo que tiene que hacer para convertir a $\mathbb{R}$ en un campo algebraicamente cerrado es tratar con el hecho de que no contiene todas sus raíces cuadradas.
También me gustaría recomendarte el libro de Fine and Rosenberger, El Teorema Fundamental del Álgebra, que contiene muchas demostraciones diferentes y material complementario. Seguro que encontrarás algo en él que te ayude a comprender este asombroso y difícil teorema.
