Considero un conjunto abierto acotado $A$ en ${\mathbb R}^d$. ¿Es la dimensión de Hausdorff del borde de $A$ al menos $d-1$? Pensé que habría encontrado un resultado sobre este problema en cualquier libro de texto sobre la dimensión de Hausdorff, pero fallé. Como podrás adivinar, nunca he trabajado con la dimensión de Hausdorff.
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Aquí hay una demostración simple para la dimensión de Hausdorff. Considera la proyección ortogonal a $\mathbb R^{d-1}$. Dado que $A$ está acotado, la proyección del borde contiene la proyección de $A$. Este último es abierto en $\mathbb R^{d-1}$ y, por lo tanto, tiene dimensión de Hausdorff $d-1$. Por otro lado, el mapa de proyección no aumenta la dimensión de Hausdorff ya que no aumenta las distancias.
Si un conjunto compacto $C$ separa un espacio conectado $X$ de dimensión $d$ (con algunas propiedades de homogeneidad, por ejemplo, un espacio euclidiano) en dos componentes conectadas, entonces debe tener dimensión topológica al menos $d-1$ (ver por ejemplo el libro de Hurewicz y Wallman sobre dimensión topológica, Teorema IV.4). En general, la dimensión de Hausdorff excede (o es igual a) la dimensión topológica (ver capítulo VII.2 del libro de Hurewicz-Wallman mencionado anteriormente).
