¿Por qué es convexa toda norma $p$?

Question

Sé que la norma $p$ de $x\in\Bbb{R}^n$ se define como, para todo $p\ge1$, $$\Vert{x}\Vert_p=\left(\sum_{i=1}^{n} \vert{x_i}\vert^p\right)^{1/p}.$$

El libro de texto se refiere a "Cada norma es convexa" como un ejemplo de funciones convexas.

No pude demostrar que $f(x)=\Vert{x}\Vert_p$ para todo $p\ge1, luego intenté encontrar la prueba en internet pero no la puedo encontrar.

¿Alguien me puede dejar entender por qué la norma $p$ es convexa para todo $p\ge1?

Answer 1

La definición de una norma es:

Sea V un Espacio vectorial, $\|\cdot\|: V \rightarrow \mathbb{R} $ es una norma $:\iff $

1. $\forall v \in V: \|v\|\ge0$ y $\|v\| =0 \iff v=0$ (positivo/definido)
2. $\forall v\in V, \lambda\in \mathbb{R}: |\lambda|\|v\| =\|\lambda v\|$ (absolutamente escalable)
3. $\forall v,w\in V : \|v+w\| \le \|v\|+\|w\|$ (Desigualdad del triángulo)

La definición de convexo es:

$f:V\rightarrow\mathbb{R}$ es convexo $:\iff$ $\forall v,w \in V, \lambda \in [0,1]: f(\lambda v+(1-\lambda )w)\le \lambda f(v) +(1-\lambda)f(w)$

Así que usando la desigualdad del triángulo y el hecho de que la norma es absolutamente escalable, se puede ver que toda norma es convexa:$$\|\lambda v+(1-\lambda )w\|\le\|\lambda v\|+\|(1-\lambda)w\| = \lambda\|v\|+(1- \lambda)\|w\|$$

Así que por definición, toda norma es convexa. Lo que queda por demostrar es que la p-norma es de hecho una norma. Los dos primeros requisitos son bastante fáciles de mostrar, el tercero es difícil. Por eso tiene su propio nombre: la Desigualdad de Minkowski, que es un resultado de la desigualdad de Hölder y muestra que la desigualdad del triángulo se cumple para cada p-norma (si p>1) y por lo tanto es una norma.

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EDIT: Dado que esto parece ser algo popular, pensé que agregaría un esbozo de la demostración de la Desigualdad de Minkowski.

1. Demuestras la Desigualdad de Young: $xy\le \frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}\quad \forall q,p>1 \text{ con } \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,\ \forall x,y\ge 0$.

Puedes hacerlo mirando la función $f(x)=\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}-xy$ encontrar el punto crítico, mostrar que es un mínimo y es mayor que cero (derivadas).

2. Demuestras la Desigualdad de Hölder: $\|fg\|_1 \le \|f\|_p\|g\|_q \quad \forall q,p>1 \text{ con } \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$

Puedes hacerlo estableciendo $x=\frac{|f|}{||f||_p}$ y $y=\frac{|g|}{||g||_q}$ e insertarlos en la desigualdad de Young. Obtienes \begin{align} &&\frac{|fg|}{\|f\|_p\|g\|_q}&\le \frac{|f|^p}{p\|f\|_p^p} + \frac{|g|^q}{q\|g\|_q^q} \\ \Rightarrow &&\int \frac{|fg|}{\|f\|_p\|g\|_q} d\mu &\le \int \frac{|f|^p}{p\|f\|_p^p}d\mu + \int \frac{|g|^q}{q\|g\|_q^q}d\mu \\ \Rightarrow &&\frac{\|fg\|_1}{\|f\|_p\|g\|_q}&\le \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 \end{align} Funciona de la misma manera para secuencias o $\mathbb{R}^n$, solo usas la desigualdad de Young para cada índice y luego sumas sobre él en lugar de usar la integral.

3. Y por último, la Desigualdad de Minkowski: $\|x+y\|_p\le\|x\|_p+\|y\|_p \quad \forall p>1$

Estableces $q=\frac{p}{p-1}$ así $q(p-1)=p$ y $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Entonces: \begin{align} \|x+y\|_p^p&=\int |x+y|^pd\mu\le\int |x+y|^{p-1}|x|d\mu+ \int |x+y|^{p-1}|y|d\mu \\ &\le \left(\int|x+y|^{q(p-1)}d\mu\right)^{1/q}\left(\int|x|^pd\mu\right)^{1/p} + \left(\int|x+y|^{q(p-1)}d\mu\right)^{1/q}\left(\int|y|^pd\mu\right)^{1/p} \\ &=\left(\int|x+y|^{p}d\mu\right)^{\frac{1}{p}\frac{p}{q}}(\|x\|_p+\|y\|_p) =\|x+y\|_p^{p/q}(\|x\|_p+\|y\|_p) \end{align}

Si te das cuenta de que $p-\frac{p}{q}=p(1-\frac{1}{q})=1$ has terminado.