Creo que es importante entender cómo la fórmula $$\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C\tag{1}$$ está tomando forma. Bueno, es el resultado de invertir la fórmula de diferenciación $$\frac{d}{dx}x^{n + 1} = (n + 1)x^{n}\tag{2}$$ Si $n + 1\neq 0$ entonces podemos dividir la fórmula $(2)$ por $(n + 1)$ para obtener $$\frac{d}{dx}\frac{x^{n + 1}}{n + 1} = x^{n}\tag{3}$$ Si ponemos $n = -1$ entonces la fórmula $(2)$ sigue siendo válida (¡compruébalo!) pero la división por $(n + 1)$ no está permitida y por lo tanto la fórmula $(3)$ se vuelve sin sentido y, por lo tanto, no se puede invertir para obtener la fórmula integral $(1)$.
Entonces no es posible invertir fórmulas de diferenciación como $(2), (3)$ para obtener $(1)$ en el caso de $n = -1$. La pregunta natural a hacer ahora es:
¿Cuál es la antiderivada de $x^{-1}$ y cómo averiguarlo si las fórmulas de diferenciación como $(2), (3)$ no ofrecen ninguna ayuda?
Sin embargo, antes de responder a la pregunta anterior, tiene sentido hacer una pregunta adicional:
¿En qué sustentamos pensar en la antiderivada de $x^{-1}$? Quizás no haya una antiderivada para esta función en particular.
Es aquí donde entra en juego el Teorema Fundamental del Cálculo (FTC) que nos proporciona lo siguiente:
Corolario de FTC: Sea $f$ continua en $[a, b]$. Entonces existe una antiderivada $F$ de $f$ tal que $F'(x) = f(x)$ para todo $x\in [a, b]$. Además, cualquier par de antiderivadas de $f$ difiere por una constante.
Y lo anterior es cierto incluso si se reemplaza $[a, b]$ por $(a, b)$.
La función $f(x) = x^{-1}$ bajo consideración es continua en los intervalos $(-\infty, 0)$ y $(0, \infty)$ y por lo tanto en cada uno de estos intervalos sí posee una antiderivada.
El FTC también nos da una expresión para la antiderivada en términos de lo que usualmente se llama una integral definida (o más técnicamente una integral de Riemann). Así que si $x > 0$ entonces la siguiente integral $$F(x) = \int_{1}^{x}\frac{dt}{t}$$ es una antiderivada de $f(x) = 1/x$ en el intervalo $(0, \infty)$.
En caso de que la presentación del cálculo sea tal que se estudian antiderivadas antes de la integral de Riemann (este es el enfoque más común utilizado en los cursos introductorios de cálculo), entonces es suficiente asumir (a través del uso del corolario de FTC mencionado anteriormente) que existe una antiderivada $F(x)$ de $f(x) = 1/x$ para $x > 0$ con las siguientes propiedades $$F(1) = 0, F(xy) = F(x) + F(y), F(x/y) = F(x) - F(y), F'(x) = 1/x\tag{4}$$ para todos los $x, y$ positivos. La función $F$ introducida anteriormente con algunas propiedades agradables / curiosas es tradicionalmente denotada por $\log x$ (o por $\ln x$) y es conocida por ser la función logaritmo. Ahora es fácil demostrar que $\log (-x)$ es una antiderivada de $1/x$ para $x < 0$ y por lo tanto tenemos la fórmula $$\int \frac{dx}{x} = \log |x| + C\tag{5}$$
Al observar las fórmulas $(1)$ y $(5)$ una mente inquisitiva puede preguntar si hay alguna conexión entre estas fórmulas. Existe una conexión entre las fórmulas $(1)$ y $(5)$ pero solo es visible cuando pasamos a integrales definidas y la conexión ha sido ampliamente descrita en la respuesta del usuario "Simply Beautiful Art". Pero a menos que se hayan estudiado integrales definidas, es mejor pensar en $(1)$ y $(5)$ como fórmulas separadas.
