¿Cómo se obtiene la raíz de un número complejo cuando el lado derecho de la ecuación es cero?

Question

Entonces sé que al querer sacar la raíz del número complejo en un caso como este

$$z^4=1+\sqrt3i$$

realmente solo se trata de calcular las coordenadas polares y encontrar las soluciones para $z_{0}, z_{1},...,z_{3}$ con la fórmula de De Moivre, etc.

pero cuando tenemos algo como esto en su lugar...

$$z^7+7i=0$$

¿Cómo se supone que debo calcular las partes $\Re$ e $\Im$ de este? Con el primer ejercicio puedo encontrar fácilmente la forma polar, pero el segundo es simplemente horrendo. No veo dónde ese número tiene sus partes reales e imaginarias, lo que hace que calcular $r$ y especialmente el ángulo $\varphi$ sea un misterio.

Realmente agradecería cualquier ayuda ;-; ¡Muchas gracias!

Answer 1

$\theta = (-\pi/2) \implies -i = e^{i\theta} \implies z^7 = -7i = 7e^{i\theta}$.

Por lo tanto, una de las raíces de la ecuación es
$z_r = (7)^{(1/7)}e^{i(\theta/7)}.$

Una vez que se ha encontrado una de las raíces, se encuentran las 7 raíces, calculando
$w_k = z_r \times z_k : k \in \{0,1,2,3,4,5,6\}$
donde $z_k$ es la raíz $k$-ésima de $z^7 = 1 \implies $
$z_k = e^{(i2k\pi/7)}.$

Editar
Para explicar mejor:

• $e^{i\theta}$ es una abreviatura de $[\cos(\theta) + i\sin(\theta)].$
• Aunque (por ejemplo) $\cos(-\pi/14)$ probablemente puede expresarse en radicales, casi con certeza este no es el punto del problema. Por lo tanto, es aceptable expresar las raíces en coordenadas polares.

Answer 2

Puedes escribirlo como $$z^7 = -7 \iota$$ y luego tomar el módulo para obtener $r^7 = 7$

Aquí $\iota = \sqrt{-1}$

Answer 3

PISTA

Simplemente reorganiza en la forma $$z^7=-7i$$ Podemos dejar que $z=r(\cos(\theta+2k\pi)+i\sin(\theta+2k\pi))$ y proceder como de costumbre. Si necesitas más ayuda, por favor no dudes en preguntar.