Mostrar que los autovalores de una matriz unitaria tienen módulo $1$

Question

Demuestra que los autovalores de una matriz unitaria tienen módulo $1$.

Sé que una matriz unitaria se puede definir como una matriz cuadrada compleja $A$, tal que

$$AA^*=A^*A=I$$

donde $A^*$ es la transpuesta conjugada de $A$, y $I$ es la matriz identidad. Además, para una matriz cuadrada $A$, la ecuación de los autovalores se expresa como $$Av=\lambda v$$

Si uso la relación $u v=v^*u$ y tomo la traspuesta conjugada de esta ecuación entonces $$v^*A^*=\lambda^*v^*$$

Pero ahora estoy atascado. ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Usted multiplica sus dos relaciones para obtener

\begin{align} v^*A^*Av &=\lambda^* v^*\lambda v \\ v^*Iv &=\left(\lambda^*\lambda\right) v^*v \\ v^*v &=\left(\lambda^*\lambda\right) v^*v \\ ||v||^2 &= |\lambda|^2 ||v||^2 \\ \sqrt{1} &=|\lambda| \\ 1 &=|\lambda| \end{align}

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Recuerde que el módulo de un número complejo $\lambda = a + bi$, también llamado "norma compleja", se denota $|\lambda|$ y se define por $|\lambda| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$ y $\lambda^*\lambda = (a -bi)(a + bi) = a^2 + b^2$. Por lo tanto, $\lambda^*\lambda = |\lambda|^2.$

Answer 2

Una matriz unitaria $U$ preserva el producto interno: $\langle Ux, Ux\rangle =\langle x,U^*Ux\rangle =\langle x,x\rangle$.

Por lo tanto, si $\lambda $ es un eigenvalor, $Ux=\lambda x$, obtenemos $\vert\lambda \vert^2\langle x,x\rangle =\langle \lambda x,\lambda x\rangle =\langle Ux, Ux\rangle =\langle x,x\rangle$.

Entonces $\vert \lambda\vert^2=1\implies \vert \lambda\vert=1$.

Answer 3

$\Delta$ como $\lambda$

$Av=\Delta v$

$(Av)^*=(\Delta v)^*$

$v^*A^*=\Delta^*v^*$

$v^*A^*Av=\Delta^*v^*\Delta v$

Como $A^*A=I$

$v^*Iv=\Delta^*\Delta v^*v$

$v^*v=\Delta^*\Delta v^*v$

$(1-\Delta^*\Delta)v^*v=0

Dado que $v$ no es igual a cero.

Por lo tanto

$1-\Delta\Delta^*=0\implies \Delta^*\Delta=1

$|\Delta|^2=1\implies |\Delta|=1

Answer 4

El resultado que buscas se deduce de lo siguiente.

Lema. Si $A$ es unitario y $\vert \vert x \vert \vert_2 = 1$, entonces $\vert\vert Ax \vert\vert_2 =1$.

Prueba. Por definición, $$ \vert\vert Ax \vert\vert_2^2 =\langle Ax, Ax \rangle = (Ax)^*(Ax) = x^*A^*A x = x^*x = \vert\vert x \vert\vert_2^2 = 1.$$

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Si $(\lambda,v)$ es un par propio de $A$, entonces, sin pérdida de generalidad, se puede asumir que $\vert\vert v \vert\vert_2 = 1$. Siguiendo el lema anterior y la propiedad de homogeneidad absoluta de las normas vectoriales, observa que $$ |\lambda| = |\lambda|\vert\vert v \vert\vert_2 = \vert\vert \lambda v \vert\vert_2 = \vert\vert Av \vert\vert_2 = 1,$$ como se deseaba.