Geometría Diferencial

Question

Demuestra que bajo un cambio de coordenadas $$(x,y)\rightarrow (x',y')$$ $$dx'\wedge dy'=J\left | \frac{\partial (x',y')}{\partial (x,y)} \right |dx\wedge dy $$ donde, J es el Jacobiano de la transformación. Estoy intentando usar la definición del producto exterior para demostrar este resultado. $$dx\wedge dy=\frac{1}{2}(dx\otimes dy-dy\otimes dx)$$

Answer 1

Retomando los comentarios anteriores, sabes que $dx \wedge dx = dy \wedge dy = 0$ y $dx \wedge dy = - dy \wedge dx$. Por lo tanto

$$dx' \wedge dy' = (f_x dx + f_y dy) \wedge (g_x dx + g_y dy) = f_xg_x dx \wedge dx + f_xg_y dx \wedge dy + ...$$

Ahora termina el cálculo.