Aritmética modular y congruencias

Question

Entiendo que $a \equiv b \pmod n$ significa que cuando divides $a$ y $b$ entre $n$, obtienes el mismo residuo. Pero ¿por qué la gente dice: "Dividir $a$ entre $n$ te da un residuo de $b$"?

Dicen eso en los primeros 30 segundos de esta videoconferencia http://www.youtube.com/watch?v=QXIlkq06Ct0&feature=youtube_gdata_player

Ejemplo

$12 \equiv 17 \pmod 5$

$12$ dividido $5$ tiene un residuo de $2$

17 dividido por 5 tiene un residuo de 2

Ninguno tiene la última relación, así que ¿por qué a veces la gente dice esto?

Answer 1

12 es igual a 2 $\bmod{5}$ y 17 es igual a 2 $\bmod{5}$

Supongamos que tienes $a\equiv b\bmod{n}$. Entonces, los números con los que estás trabajando son básicamente del conjunto {0,1,2,3,...,n-1}, siendo n=0 (mod n), n+1=1 (mod n), n+2=2 (mod n), etc.

Si dos números, a y b, están relacionados por $a\equiv b\bmod{n}$, entonces (a-b)=nc, para $c\in \mathbb{N}$, es decir, (a-b) es un múltiplo de n. Entonces en tu caso anterior, $2\equiv2+5\equiv2+10\equiv2+15\equiv etc.\bmod{5}$. Así que 2 es igual a 12 que es igual a 15 $\bmod{5}$

Cuando tienes $a\equiv b \bmod{n}$, con $a>b$ y $b\in\{0,1,\cdots ,n-1 \}$, entonces de hecho a dividido por n es b, este es el caso en el video. Cuando esto no es el caso, causa confusión, como en tu ejemplo. Tendría sentido escribir $17\equiv 2 \bmod{5}$ sin embargo.

Answer 2

$\rm\: a\equiv b\pmod n\iff n\ |\ a-b \iff a-b\: =\: nk\:$ para algún $\rm\:k\in \mathbb Z$.

$\rm\: a\ mod\ n\: =\: b\iff a\equiv b\pmod n\:$ y $\rm\:0\le b < n.\:$ Por lo tanto $\rm\:a\ mod\ n\:$ es el residuo al dividir $\rm\:a\:$ por $\rm\:m,\:$ es decir, el menor elemento positivo de la clase de equivalencia $\rm\:a + n\:\mathbb Z\:$ de todos los enteros congruentes a $\rm\:a,\:$ módulo $\rm\:n,\:$ es decir, el único elemento equivalente a $\rm\:a\:$ del sistema completo de representantes $\rm\:\{0,1,2,\ldots,n-1\}$ de clases de congruencia módulo $\rm\:n.\:$ Esto es lo que se muestra en el video.