En la CFT de fermiones de Dirac sin masa en 2D tenemos funciones de correlación como $$\langle J(z,\bar{z})J(0)\rangle \sim \frac{1}{z^2},$$ donde en términos de coordenadas euclídeas reales $x^0,x^1$, tenemos $z=x^0+ix^1$, y $J = \frac{1}{2}(J_0-iJ_1)$.
Quiero ver cómo surge esto un poco más concretamente, desde un enfoque de QFT perturbativa ("perturbativo" en estilo, pero esta es una teoría libre, por lo que es exacta). A partir de las identidades de Ward, la función de correlación de la corriente debe ser esquemáticamente $$G_{\mu\nu}(p)\equiv \int d^2x\langle J_\mu(x) J_\nu (0)\rangle e^{ixp}=G(p^2)\left(g_{\mu\nu}-\frac{p_\mu p_\nu}{p^2}\right).$$
Deberíamos ser capaces de calcular la función $G(p^2)$ utilizando propagadores de Dirac masivos y tomar algún tipo de límite cuando $m^2\rightarrow 0$ para comparar con los resultados de la CFT. Obtenemos una integral como $$G_{\mu\nu}(p)=\int \frac{d^2 k}{(2\pi)^2} \frac{\text{Tr}\left[\gamma_\mu \left(\gamma_\rho k^\rho +m\right)\gamma_\nu \left(\gamma_\sigma (k-p)^\sigma +m\right)\right]}{(k^2+m^2)((k-p)^2+m^2)}$$ Esto se calcula, por ejemplo, en Adam, Bertlmann, Hofer (1993). El resultado es $$G(p^2)=\frac{1}{\pi}\left(1-\frac{2m^2}{p^2 R}\log\left(\frac{R+1}{R-1}\right)\right),\qquad R \equiv \sqrt{1+4\frac{m^2}{p^2}}.$$ Esta función parece un poco fea pero en realidad es muy común en cálculos de 1-loop en QFT 2D y tenemos $G(0)=0$ en $p^2=0$ y $$G(p^2)\sim -\frac{2m^2}{\pi p^2} \log\frac{p^2}{m^2},\qquad p^2\gg m^2.$$
Ahora mi pregunta es cómo comparar este resultado para fermiones masivos con el resultado de CFT. ¿Cómo podemos tomar el límite $m^2\rightarrow 0$ y transformar de Fourier (o en orden inverso) para ver que coincidan?
