La pregunta más general es sobre el intercambio de límites e integración. Con sumas infinitas, este es un caso especial, porque por definición $\sum_{n=1}^\infty f_n(x) = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N f_n(x)$. Así que porque siempre se pueden intercambiar sumas finitas e integración, la única pregunta es sobre el intercambio del límite y la integración.
Escribiendo lo que acabo de decir en símbolos, queremos condiciones tales que
$$\sum_{n=1}^\infty \int_X f_n(x) dx = \int_X \sum_{n=1}^\infty f_n(x) dx.$$
Expandiendo la definición:
$$\lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N \int_X f_n(x) dx = \int_X \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N f_n(x) dx.$$
Ahora un intercambio es libre:
$$\lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N \int_X f_n(x) dx = \lim_{N \to \infty} \int_X \sum_{n=1}^N f_n(x) dx.$$
El problema está en el último intercambio, que es de lo que trata la mayor parte del resto de esta respuesta.
El resultado más general de este tipo es el teorema de convergencia de Vitali. Dice que si $f_n$ es una secuencia de funciones medibles, $f_n \to f$ puntualmente, $f_n$ es uniformemente integrable, y $f_n$ es ajustado, entonces $\int_X f_n(x) dx \to \int_X f(x) dx.$ (Aquí $X$ es el conjunto sobre el cual integramos.) Puede buscar las definiciones formales de "uniformemente integrable" y "ajustado" usted mismo. A grandes rasgos, significan que no se puede "comprimir masa en un punto" y que no se puede "mover la masa al infinito". Estas intuiciones se ilustran por el fracaso de la conclusión del teorema para las secuencias $f_n(x)=\begin{cases} n & x \in [0,1/n] \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$ en $[0,1]$ y $g_n(x)=\begin{cases} 1 & x \in [n,n+1] \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$ en toda la línea.
El teorema de convergencia de Vitali es general pero no es conveniente. El resultado con tal vez el mejor equilibrio entre generalidad y conveniencia para verificar es el teorema de convergencia dominada. Este dice que si $f_n \to f$ puntualmente y hay una función integrable fija $g$ tal que $|f_n(x)| \leq g(x)$ para todo $n$ y $x$, entonces $\int_X f_n(x) dx \to \int_X f(x) dx.$
Un resultado relativamente básico es el teorema de convergencia monótona, que dice que si $f_n$ es una secuencia creciente de funciones no negativas y $f_n \to f$ puntualmente, entonces $\int_X f_n(x) dx \to \int_X f(x) dx$. En particular, esto se cumple independientemente de si $f$ es realmente integrable (si no lo es, entonces el límite de las integrales es $+\infty$). Esto también es aplicable al caso cuando $f_n$ son no positivos y disminuyen a $f$ (esto es fácil de probar, ya que $\int_X -g(x) dx = -\int_X g(x) dx$). Esto es útil para la suma, porque si $f_n(x) \geq 0$ entonces $g_N(x)=\sum_{n=1}^N f_n(x)$ es una secuencia creciente de funciones no negativas.
Finalmente, en el caso especial del intercambio de sumas e integrales, se puede aplicar la versión abstracta del teorema de Fubini-Tonelli. Esto se debe a que la suma se puede identificar como la integración con respecto a la medida de conteo. Como resultado, si cualquiera de
$$\sum_{n=1}^\infty \int_X |f_n(x)| dx < \infty$$
o
$$\int_X \sum_{n=1}^\infty |f_n(x)| dx < \infty$$
entonces se puede intercambiar sumas e integrales. (Esto requiere una hipótesis sobre $X$; como esto se cumple para el caso de $\mathbb{R}^n$, no la mencionaré, ya que esta es una redacción más avanzada de lo que deseabas.)
