Onda pregunta con condiciones iniciales piecewise

Question

Mi problema se refiere a la ecuación de onda de la forma: $$u_{tt}=u_{xx}$$ en el dominio $$D = \{ (x,t) \mid - \infty0\}$$ sujeto a las condiciones iniciales:

$$u(x,0)=\left\{ \begin{array}{c l} x^3-x, & |x|\leq1\\ 0, & |x|\geq1 \end{array}\right.$$

$$u_t(x,0)=\left\{ \begin{array}{c l} 1-x^2, & |x|\leq1\\ 0, & |x|\geq1 \end{array}\right.$$

Estoy bastante seguro de que esto se puede resolver usando la solución de D'Alambert para una ecuación de onda general, sin embargo, tengo algunas dudas sobre cómo abordar esta pregunta cuando hay condiciones iniciales por partes. Sé que las condiciones iniciales son continuas. ¿Cómo abordo esto? ¡Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

Intente revisar nuevamente la derivación de la solución de D'Lambert (es decir, use el cambio de variables $r=x+t$ y $s=x-t$ para mostrar que la EDP realmente dice $\frac{\partial ^2u}{\partial r \partial s} = 0$, luego integre con respecto a r y s, y aplique las condiciones de contorno).

Debe notar que no cambia mucho cuando tiene condiciones iniciales a trozos, solo necesita tener cuidado al evaluar la integral en la solución de D'Lambert, ¡tenga cuidado de dónde la función (velocidad) $$u_t(x,0) \begin{cases} 1-x^2 &|x|\leq 1 \\ \\ 0 &|x|\geq 1 \end{cases}$$ es cero!

Answer 2

De hecho, el resultado real debería ser $u(x,t)=\dfrac{f(x+t)+f(x-t)+g(x+t)-g(x-t)}{2}$ , donde $f(x)=\begin{cases}x^3-x&\text{para}~|x|\leq1\\0&\text{para}~|x|\geq1\end{cases}$ y $g(x)=\begin{cases}-\dfrac{2}{3}&\text{para}~x\leq-1\\x-\dfrac{x^3}{3}&\text{para}~|x|\leq1\\\dfrac{2}{3}&\text{para}~x\geq1\end{cases}$