Un BJT (transistor bipolar de unión) ordinario es un dispositivo de baja impedancia de entrada impulsado por corriente. Si no hay conexión a la base, entonces la conducción/fuga directa del diodo base-emisor llevará rápidamente el potencial de la base al potencial del emisor. El transistor estará apagado.
Para voltajes colector/emisor dentro de sus especificaciones, no fluirá una corriente significativa. Para voltajes fuera de las especificaciones, eventualmente el transistor se averiará, y a un voltaje más bajo de lo que lo haría si la base estuviera físicamente cortocircuitada al emisor, debido a la fuga inversa del diodo colector/base.
Para que ocurra algo interesante en un transistor con un terminal de control abierto, tiene que ser un FET (transistor de efecto de campo). Son dispositivos de alta impedancia impulsados por voltaje. Si llevas la compuerta a un potencial, persistirá en ese potencial durante algún tiempo, debido a la baja fuga y a la capacitancia finita de la compuerta con los otros electrodos. Si tienes una forma de inyectar y retirar carga de esta capacitancia de la compuerta, entonces puedes usarla para almacenar datos, tanto digitales (encendido/apagado) como analógicos (cuánto encendido), durante algún tiempo dependiendo de la constante de tiempo de fuga x capacitancia.
Como señaló Brain en los comentarios, las cosas también pueden ser interesantes con un fototransistor. Resulta que todos los transistores son fototransistores, pero la mayoría vienen en envases opacos por lo que no son sensibles a la luz. En el pasado, cuando el germanio era todavía el material de transistor más popular, la forma más fácil de obtener un fototransistor era raspar la pintura negra del OC71 empaquetado en tubo de vidrio. La excitación por luz permite que fluya una corriente a través de la unión colector/base en polarización inversa, la cual luego es amplificada por el beta del transistor. Esta es la razón por la que los transistores a menudo se utilizan en lugar de diodos como fotodetectores, ya que producen una corriente de salida mucho mayor. El precio a pagar es que tienden a ser mucho más lentos que un diodo.