¿Qué quieren decir Steen y Seebach al discutir los puntos límite de las secuencias en la Topología de Punto Particular?

Question

En "Contraejemplos en Topología" por Steen y Seebach (2ed: 1978), están discutiendo la Topología de Punto Particular, la cual definen como:

"En cualquier conjunto $X$, podemos definir los conjuntos abiertos de una topología como $\varnothing$ y cualquier subconjunto de $X$ que contenga un punto particular $p$. Distinguimos tres casos, finito, numerable e innumerable según el tamaño de $X$."

(Se asume, por supuesto, que $p \in X$.)

Su primer artículo dice:

1. Las secuencias $\langle a_i \rangle$ que convergen son aquellas para las cuales los $a_i \ne p$ son iguales excepto por un número finito de índices. Los únicos puntos de acumulación para las secuencias son los puntos $b_j$ que los $a_i$ son iguales para infinitos índices. Así que cualquier conjunto numerable infinito que contenga $p$ tiene un punto límite, pero nunca un punto de acumulación al considerarse como una secuencia en cualquier ordenamiento.

Así es como S&S definen un punto de acumulación de una secuencia:

"...todo conjunto abierto que contenga $p$ tiene infinitos términos de la secuencia. En este caso $p$ es llamado un punto de acumulación de la secuencia."

Es decir, un punto de acumulación $\alpha$ es tal que:

$\forall U \in \tau: x \in U \implies \{n \in \mathbb N: x_n \in U\}$ es infinito (donde $\tau$ es la topología en cuestión).

Mi entendimiento (o falta de él) es el siguiente:

Por definición, una secuencia converge a $\alpha$ si existen solo un número finito de conjuntos abiertos que contienen a $\alpha$ y que no contienen ningún término dado de $\langle a_i \rangle$.

Pero consideremos la secuencia $\langle a_i \rangle = \left\langle{\dfrac 1 i}\right\rangle_{i \in \mathbb N}$ en el espacio de punto particular $(\mathbb R, \tau_p)$ donde $p = 1$ y $\mathbb R$ denota los números reales.

$\langle a_i \rangle$ converge a $0$, que no es igual a $1$, pero ninguno de los $a_i$ son iguales. Todos los conjuntos de $(\mathbb R, \tau_p)$ de la forma $\left[{0, \dfrac 1 n}\right] \cup \{1\}$ son abiertos en la topología de punto particular, así que no entiendo esa primera oración del artículo $1$.

Por lo tanto, parece que hay una secuencia convergente para la cual los $a_i \ne p$ no son iguales para un número finito de índices. Y así la oración sobre los puntos de acumulación es igualmente cuestionable.

En cuanto al resto del artículo, no logro entenderlo hasta que resuelva mi problema con estas primeras partes.

Cualquier idea sería apreciada, y una explicación completa de todo será muy apreciada y recibida con gratitud.

Answer 1

Usted malinterpreta la definición de convergencia

Por definición, una secuencia converge a $\alpha$ si y solo si existe solo un número finito de conjuntos abiertos que contienen a $\alpha$ que no contienen ningún término dado de $\langle a_i \rangle$.

No En realidad es más similar a la definición de punto de acumulación que diste :

$$\forall U \in \tau: \alpha \in U \implies \{n \in \Bbb N: x_n \in U\} \text{ solo omite finitos puntos de } \Bbb N$$

Así que todos los entornos abiertos del límite contienen "casi todos" (como máximo se permiten unos pocos puntos omitidos) términos de la secuencia.

Entonces su secuencia no converge a $0$ en $\tau_p$: $\{0,p\}$ es un entorno de $0$ que contiene a lo sumo dos términos de la secuencia (ya que la secuencia tiene términos todos distintos).

La secuencia $0,1,0,1, \ldots$ tiene al menos puntos de acumulación $0$ y $1$ (en cualquier topología) y en $\tau_p ( p=1) $ no tiene más ninguno, y ningún límite. Esto está en concordancia con la afirmación de Steen y Seebach.

Answer 2

Este es mi intento de responder a mi propia pregunta, que es "dar sentido a esa primera oración del pasaje citado".

Sea $\langle a_i \rangle$ una secuencia convergente en un espacio de puntos particular $T = (S, \tau_p)$, donde $p$ es el punto particular y $\tau$ es el conjunto de todos los subconjuntos de $S$ que contienen a $p$.

Sea $\langle a_i \rangle$ que converge a $\alpha$.

Por definición de secuencia convergente, todos los conjuntos abiertos de $T$ contienen todos menos finitos términos de $\langle a_i \rangle$.

Esto incluye a $\{\alpha, p\}$.

Entonces todos menos un número finito de términos de $\langle a_i \rangle$ son iguales a $\alpha$ o a $p$.

Por lo tanto, todos menos un número finito de términos de $\langle a_i \rangle$ tales que $a_i \ne p$ es igual a $\alpha$.

Trabajo terminado.

Answer 3

Voy a intentar dar una visión completa de la convergencia de secuencias y puntos de acumulación de secuencias en $X$ con la topología de punto particular (con $p\in X$ como el "punto particular"). Así que sea $(a_n)_n$ una secuencia en $X$.

Límites de secuencias

Por definición, $(a_n)_n$ converge a un punto $a$ si todo entorno de $a$ contiene todos los $a_n$ para $n$ suficientemente grande. En el caso de que exista un entorno más pequeño $V$ de $a$ (lo cual es el caso para cada punto en la topología del espacio particular), es equivalente requerir que todos los $a_n$ pertenezcan a $V$ para $n$ suficientemente grande. Para $a=p$, ese entorno más pequeño es $\{p\}$. Para $a\ne p$, ese entorno más pequeño es $\{a,p\}$. Así que obtenemos:

1. $(a_n)_n$ converge a $p$ exactamente cuando $a_n=p$ para todo $n$ suficientemente grande (la secuencia es eventualmente constante igual a $p$).

2. $(a_n)_n$ converge a $a\ne p$ exactamente cuando $a_n\in\{a,p\}$ para todo $n$ suficientemente grande.

Puntos de acumulación de secuencias

Por definición, el punto $a\in X$ es un punto de acumulación de la secuencia $(a_n)_n$ si todo entorno de $a$ contiene $a_n$ para infinitos índices $n$. Similar a los límites, es suficiente requerir esto para el entorno más pequeño de $a$ en la topología de $X$. Obtenemos:

1. $p$ es un punto de acumulación de $(a_n)_n$ exactamente cuando $p$ ocurre infinitas veces en la secuencia.

2. $a\ne p$ es un punto de acumulación de $(a_n)_n$ exactamente cuando $a$ ocurre infinitas veces en la secuencia o $p$ ocurre infinitas veces en la secuencia.

En particular, si $p$ ocurre infinitas veces, todos los puntos de $X$ son puntos de acumulación de la secuencia.

Ejemplos

(tomando $a$, $b$ puntos distintos, ambos diferentes de $p$)

• La secuencia $(p,p,p,\dots)$ converge a todos los puntos de $X$. Todos los puntos de $X$ son puntos de acumulación de la secuencia.
• La secuencia $(a,a,a,\dots)$ converge solo a $a$, y $a$ es su único punto de acumulación.
• La secuencia $(a,p,a,p,a,p,\dots)$ converge solo a $a$. Todos los puntos de $X$ son puntos de acumulación de la secuencia.
• La secuencia $(a,b,p,a,b,p,a,b,p,\dots)$ no converge. Todos los puntos de $X$ son puntos de acumulación de la secuencia.
• La secuencia $(a,b,a,b,a,b,\dots)$ no converge. Sus puntos de acumulación son $a$ y $b$.