Prueba de que cada función de una forma simbólica $A$ tiene una antiderivada con una forma simbólica única $A'$

Question

Solo estoy aprendiendo sobre antiderivadas. Me intriga cómo demostrar que para cualquier función que tenga una estructura simbólica particular, existe solo una antiderivada que corresponde a esa estructura simbólica.

Por ejemplo: para demostrar que existe una relación única entre todas las funciones de la forma $f'(x)=x^{n}$ y sus antiderivadas $f(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$. Es decir: si pudieras inventar algún tipo de forma de función de un nivel superior que tome una función como entrada y dé la derivada de la función como salida, la función debería ser uno a uno para cada clase simbólica.

Otro ejemplo: con $\ln x$ como la antiderivada de $\frac{1}{x}$, ¿cómo podemos demostrar que $\ln x$ es la única función que satisface esa relación?

Responder a esta pregunta está más allá de mis habilidades matemáticas actuales. Puedo demostrar que cierta antiderivada pertenece a una función diferenciando la antiderivada y igualándola a la función. Sin embargo, para demostrar que esta operación es uno a uno sobre clases simbólicas, no tengo idea de por dónde empezar.

Answer 1

Depende de lo que quieras decir con clases simbólicas. Pueden existir muchas formas simbólicas diferentes para la misma función; por mencionar un ejemplo trivial, la antiderivada de $x^n$ se puede escribir como $\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,$ $\frac{2x^{n+1}}{2n+2}+C,$ $\frac{x^{n+1}}{n+\sin^2 x+\cos^2 x}+C,$ y muchas otras formas infinitas.

De hecho, de vez en cuando, alguien publica una antiderivada que han encontrado que aparentemente es bastante diferente de lo que Wolfram Alpha da como respuesta, pero de hecho los dos son equivalentes.

Si tu pregunta es en qué sentido la antiderivada es única hasta una constante aditiva, así es como puedes verlo: Si $f$ y $g$ son funciones continuas en la recta real (o en un intervalo abierto) y si $f'=g',$ entonces $(f-g)'=0,$ por lo tanto $f-g$ es una función constante.

Entonces, una antiderivada continua es una función única hasta una constante aditiva, pero no hay una expresión simbólica única para ella.

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Por cierto, si el dominio de la función no es un conjunto conectado (por ejemplo, si el dominio es la unión de dos intervalos abiertos disjuntos), entonces las cosas no funcionan tan ordenadamente. Esto es esencialmente porque puedes tener diferentes constantes aditivas en las diferentes partes conectadas (incluso si la función original se puede expresar por la misma fórmula sobre todo el dominio).

Answer 2

Teorema fundamental del cálculo: $$f(x) = \int_a^x f' + C.$$